【問題】xの整式Pをx^3-1で割ると商がx+3であり、x+1で割ると

質問

【問題】xの整式Pをx^3-1で割ると商がx+3であり、x+1で割ると余りが5、x^2+x+1で割ると余りが-7x-1となる。ことのき、Pをx^2で割った時の余りを答えよ。

≪自分の解答≫
P(x)=(x^3-1)(x+3)+ax^2+bx+c
P(x)=(x+1)*Q(x)+5
P(x)=(x^2+x+1)*R(x)+-7x-1
P(x)=x^2*S(x)+px+q

と置いてみたのですが…これからどうすればいいのでしょうか？？＾－＾；

よろしくお願いします。。。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。
少し内容を補いますね。＾＾

＞P(x)=(x-1)(x^2+x+1)+1x^2+bx+cとあらわせて
これと、1番目の式を合わせてみましょう。
P(x)
＝ (x^3- 1)(x+ 3)+ ax^2+ bx+ c
＝ (x- 1)(x^2+ x+ 1)(x+ 3)+ ax^2+ bx+ c

と表します。

・この時点で「x^3-1で割ると商がx+3」は満たされていますね。
・「x+1で割ると余りが5」は、因数定理が使えますね。
・「x^2+x+1で割ると余りが-7x-1」は、言い換えると
「ax^2+ bx+ cを x^2+x+1で割ると余りが-7x-1」ということになります。
ここが一番のポイントかもしれませんね。

これらを式に表していくと、a, b, cを求めることができます。
a, b, cが求まれば、P(x)がわかります。
その P(x)を x^2で割った余りは 1次式以下となるので、
P(x)の 2次以上の項をまとめてしまえば余りが浮き出されます。

お礼

ありがとうございました＾＾
答えがでました＾＾
-5x-1になりましたｗｗ

いつもいつも
わかりやすい解説ありがとうございます。。。

回答No.2

debut

１番目の式は(x^3-1)(x+3)がx^2+x+1で割り切れるので、
P(x)をx^2+x+1で割ったときの余りが-7x-1ということは、
１番目の式のax^2+bx+cをx^2+x+1で割ったときの余りは-7x-1と
言い換えられます。
よって、１番目の式のax^2+bx+cはa(x^2+x+1)-7x-1と置き換える
ことができませんか？
P(x)=(x^3-1)(x+3)+a(x^2+x+1)-7x-1 （１番目と３番目を合体）
P(-1)=5からaがわかればP(x)全体が明らかになり、余りは容易に
求められます。

お礼

ありがとうございました＾＾
答えは-5x-1になりました＾＾ｗ

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
進め方は合っていると思います。
少し工夫がいりますね。

≪自分の解答≫の中で
・一番目の式の a, b, cがわかれば、答えは計算できますよね。
・まず、x^3- 1は因数分解できますよね。
・そして、因数分解したものは「どこかで」出てきますよね。
・あとは、「因数定理」も使います。

もう一度、このあたりを考えてみてください。＾＾

お礼

ありがとうございます＾＾

補足

P(x)=(x-1)(x^2+x+1)+1x^2+bx+cとあらわせて
これから上から3つ目の式のところの一部(x^2+x+1)がでてきました。。。
それで割ってみようかと思ったのですが…
だめでした…