数ll 余りを求める問題

質問

こんにちは。
わからない問題があるので教えてください。

整式P(x)を (x+1)^2で割ると2x+3余り
(x-1)^2で割ると3x-2余る。
このとき、P(x)を(x+1)^2(x-1)で割った余りを求めなさい。

まず、余りをax^2+bx+cと置いて、
(x+1)^2で割ったら2x+3余るので、
P(-1)=a-b+c=2x+3=1

(x-1)^2で割ると3x-2余るので、
P(1)=a+b+c=1

というようにしてみたのですが、違うみたいです。
どうしてこの考え方は違うのでしょうか？

回答よろしくお願いします。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

条件を式で表すと
f(x),g(x),h(x)を整式、aを定数として
P(x)=f(x)(x+1)^2+2x+3
=g(x)(x-1)^2+3x-2
=h(x)(x+1)^2・(x-1)+a(x+1)^2+2x+3
とおける。

したがって
P(1)=3-2=4a+2+3
a=-1

よって
P(x)=h(x)(x+1)^2・(x-1)-(x+1)^2+2x+3
=h(x)(x+1)^2・(x-1)-x^2+2

(答)求める余り=-x^2+2

なお、質問者さんのやり方だと以下のようになります。
>まず、余りをax^2+bx+cと置いて、
>(x+1)^2で割ったら2x+3余るので、
>P(-1)=a-b+c=1 ...(1)

>(x-1)^2で割ると3x-2余るので、
>P(1)=a+b+c=1 ...(2)

ここまでOKです。
(1),(2)より
b=0, a+c=1 ...(3)
となります。

>というようにしてみたのですが、違うみたいです。
>どうしてこの考え方は違うのでしょうか？

まだ使っていない条件が残っていませんか。
ax^2+bx+c=a(x+1)^2+2x+3=ax^2+2(a+1)x+a+3
b=2(a+1), c=a+3 ...(4)
これと(3)から
a=-1, b=0, c=2
と出ます。

したがって余り ax^2+bx+c は
-x^2+2
となります。

お礼

ありがとうございます。
とてもよく理解できました。

回答No.1

shintaro-2

>まず、余りをax^2+bx+cと置いて、
>(x+1)^2で割ったら2x+3余るので、
>P(-1)=a-b+c=2x+3=1

> (x-1)^2で割ると3x-2余るので、
>P(1)=a+b+c=1

>というようにしてみたのですが、違うみたいです。
>どうしてこの考え方は違うのでしょうか？

この考え方の場合、
x^2は余りにはないので、a=0で
ｂ＋ｃ＝１　という関係式を得られるだけです。

問題文から、このように考えます。
P(x)=f(x)(x+1)^2+2x+3

P(x)=g(x)(x-1)^2+3x-2

f(x),g(x)は定数かもしれませんし、ｘの１０次式かもしれません。
f(x),g(x)の次数は、P(x)の次数から２（(x+1)^2の次数）を引いたものということだけしか判明していません。

お礼

詳しい回答、どうもありがとうございました。