数学がわかりません

質問

以下の問題の解き方を教えてください

x^2+2x-1/x^3+x^2=a/x^2+b/x+c/x+1 のa,b,cの値

整式P(x)=x^3+ax^2+3x-2をx-2で割ったあまりが12であるとき 定数aの値

整式P(x)をx-1で割ると-1余り,x+1で割ると3余る時、x^2-1で割った時の余りはいくつか

x^3+ax^2+bx-5=0がx=1+2iを解に持つ時、定数a、bの値と残りの解

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
　(x^2+2x-1)/((x^2)(x+1))=(a/x^2)+(b/x)+(c/(x+1))
分母を払うと
　x^2+2x-1=a(x+1)+bx(x+1)+cx^2
これがxについての恒等式となるようにa,b,cを決めればよい。
つまり、左辺と右辺の「xの各次の係数」が等しくなるようにa,b,cを決めればよい。
　1=b+c, 2=a+b, -1=a
　a=-1,b=3,c=-2

(2)
　P(x)=x^3+ax^2+3x-2
剰余定理より
　P(2)=8+4a+6-2=12+4a=12
となるようにaを決めれば良い。 ⇒ a=0

(3)
剰余定理より
　P(x)=(x-1){(x+1)Q(x)+a}-1 …(★)
とおける。但し,Q(x)は整式。
　P(-1)=-2a-1=3 ⇒ a=-2
(★)に求めたa=-2を代入
　P(x)=(x^2-1)Q(x)-2(x-1)-1=(x^2-1)Q(x)-2x+1
従って剰余定理より
整式P(x)をx^2-1で割った時の余りは「-2x+1」。

(4)
a,bは実数の定数とします。
実数係数の３次方程式
　x^3+ax^2+bx-5=0　…(◆)
が虚数解x=1+2iを持つので共役なx=1-2i …(▼)も解になることから
虚数解の和=2,虚数解の積=1+4=5より,解と係数の関係から
(◆)の左辺は因数として
　x^2-2x+5
を持つ。
従って、(◆)の左辺は因数分解できて
　(x^2-2x+5)(x-1)=0　…(■）
となる。左辺の括弧を外すと
　x^3-3x^2+7x-5=0　…(▲)
(◆)と(▲)は同じ方程式なので各次の係数が等しいことから
　a=-3,b=7
(▼),(■）からx=1+2i以外の解は
　x=1-2iと1
となります。