(1)
(x^2+2x-1)/((x^2)(x+1))=(a/x^2)+(b/x)+(c/(x+1))
分母を払うと
x^2+2x-1=a(x+1)+bx(x+1)+cx^2
これがxについての恒等式となるようにa,b,cを決めればよい。
つまり、左辺と右辺の「xの各次の係数」が等しくなるようにa,b,cを決めればよい。
1=b+c, 2=a+b, -1=a
a=-1,b=3,c=-2
(2)
P(x)=x^3+ax^2+3x-2
剰余定理より
P(2)=8+4a+6-2=12+4a=12
となるようにaを決めれば良い。 ⇒ a=0
(3)
剰余定理より
P(x)=(x-1){(x+1)Q(x)+a}-1 …(★)
とおける。但し,Q(x)は整式。
P(-1)=-2a-1=3 ⇒ a=-2
(★)に求めたa=-2を代入
P(x)=(x^2-1)Q(x)-2(x-1)-1=(x^2-1)Q(x)-2x+1
従って剰余定理より
整式P(x)をx^2-1で割った時の余りは「-2x+1」。
(4)
a,bは実数の定数とします。
実数係数の３次方程式
x^3+ax^2+bx-5=0 …(◆)
が虚数解x=1+2iを持つので共役なx=1-2i …(▼)も解になることから
虚数解の和=2,虚数解の積=1+4=5より,解と係数の関係から
(◆)の左辺は因数として
x^2-2x+5
を持つ。
従って、(◆)の左辺は因数分解できて
(x^2-2x+5)(x-1)=0 …(■）
となる。左辺の括弧を外すと
x^3-3x^2+7x-5=0 …(▲)
(◆)と(▲)は同じ方程式なので各次の係数が等しいことから
a=-3,b=7
(▼),(■）からx=1+2i以外の解は
x=1-2iと1
となります。
