因数定理

質問

a,b,cを実数とする。整式P(x)=2x^3-ax^2-bx-cは、P(1)=6,P(2)=8を満たすとする。
(1)P(x)を(x-1)(x-2)で割った余りを求めよ。
(2)bとcを、aを用いて表せ。
(3)Q(x)=P(x)-6とおき、(2)よりQ(x)を表せ。また方程式Q(x)=0が虚数をもつようなaの値の範囲を求め、その解のうち、虚数の解の実部が整数となるaの値を求めよ。

(1)が解けないので前に進めません。公式とかってありますか？
教科書や参考書を見ても、違うタイプの問題しか載っていなくて困ってます。
ヒントをお願いします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

(1)P(1)=6から
P(x)=(2x+p)(x-1)(x-2)+q(x-1)+6
とおける。
P(2)=q+6=8　から　q=2
余りは
q(x-1)+6=2(x-1)+6=2x+4

(2)
P(x)=(2x+p)(x-1)(x-2)+2x+4=2x^3-ax^2-bx-c
展開して係数比較して連立方程式を立てb,cについて解く。
b=12-3a, c=2a-16

(3)
Q(x)=2*x^3-6*x^2+6*x+(6-a)*x^2-3*(6-a)*x-2*a+10
Q(1)=0より
Q(x)=(x-1){2x^2 +(2-a)x+2(a-5)}
Q(x)=0が虚数解を持つ為には
2x^2 +(2-a)x+2(a-5)=0の判別式D＜0から
D=(2-a)^2-16(a-5)=a^2-20a+84=(a-14)(a-6)＜0
∴6<a<14

回答No.5

info22

#4です。
A#4のついでに(3)のaは次のようにすれば出てきます。

解の実部は　(a-2)/4
6<a<14から
4<a-2<12
1<(a-2)/4<3
(a-2)/4が整数になるには
(a-2)/4=2 ∴a=10

回答No.3

noname#47894

P(x)=(x-1)(x-2)G(x)＋R(x)
とおくことにして、R(x)は2次式で割った余りなので高々1次の整式だから、R(x)＝px+q　とします。
P(x)=(x-1)(x-2)G(x)＋px+q
ここで、なんだかわからないG(x)を消してしまうために、x=1、x=2　を代入して、P(1)＝p+q、P(2)＝2p+q
あとは、連立方程式を作って解いて下さい。

(2)は、x=1、x=2を代入して、2つの式を立て、消去していけば解けます。

(3)は、(2)を解かないことにはなんとも言えませんが、
Q(1)=P(1)-6なので、Q(1)=0　因数定理より、Q(x)は、x=1を解に持つので、x-1を因数に出して因数分解して、残った2次方程式を解いてください。

回答No.2

someday555

最近このての質問はすぐに削除対象になって残念ですが…

公式って訳ではないのですが、（１）についてはP(x)を(x-1)(x-2)で割った商をR(x),余りをdx+eとおけば、
P(x)＝（ｘ－１）（ｘ－２）R(x)＋ｄｘ＋e　とかけますよね？
そしてP(1)＝６、P(2)＝８なのでｘに１と２をそれぞれ代入すればよいです。
ｄとeの連立方程式になるのはわかりますよね？
それはご自分で解かれてください。

回答No.1

debut

(x-1)(x-2)は２次式なので、余りは　ｍｘ＋ｎ　とかの
１次式で表すことができます。
したがって、商をＲ(x)とすれば、
　Ｐ(x)＝(x-1)(x-2)Ｒ(x)＋ｍｘ＋ｎ
とすることができます。
すると、Ｐ(1)はこの式にｘ＝１を代入して　ｍ＋ｎ、
Ｐ(2)は　２ｍ＋ｎ　になるので与えられた値を使い連立方程式
を解けばｍ、ｎが求められます。
ポイントは、２次式で割ると余りは１次式以下、ということです。