因数定理の問題です

質問

x^2002をx^4-1で割ったら余りは何になりますか？
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x^4-1=0の解が±1、±iですから、
x^2002=(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)Q+ax^3+bx^2+cx+d
つまり±1、±iを代入してa、b、c、dの連立を解けばいいと思うんですが、もっと簡単な方法があったような記憶があります。

回答No.3

tarame · ベストアンサー

x^2＝y とおくと
x^2002＝y^1001
x^4-1＝y^2-1＝(y-1)(y+1)
y^1001を y^2-1 で割った余りを ay+b とすると
余りが y となります。
これで少し計算がやさしくなるかな

お礼

ご回答ありがとうございます。
確かに虚数が消え、aとb求めるだけでいいので
計算が半減できると思います。

回答No.5

noname#47975

x^2002 = (x^4-1)Q(x) + ax^3 + bx^2 + cx + d----(1)
(-x)^2002 = (x^4-1)Q(-x) -ax^3 + bx^2 - cx + d-より、
x^2002 = (x^4-1)Q(-x) -ax^3 + bx^2 - cx + d----(2)

(2)式について着目すると、
x^2002を(x^4-1)で割ったとき、(x^4-1)Q(-x)は割り切れ、
-ax^3 + bx^2 - cx + dは割り切れないので、
余りは、-ax^3 + bx^2 - cx + dとなって、
これはax^3 + bx^2 + cx + dと恒等的に等しいので、
ax^3 + bx^2 + cx + d = -ax^3 + bx^2 - cx + dより、
より、a = c = 0になる事が分かります。
これを(1)式に代入すれば

x^2002 = (x^4-1)Q(x) + bx^2 + d ----(3)を得ます。
x = 1 , iを代入すれば、
b + d = 1 -b + d = -1
b = 1 d = 0となるので、
余りはx^2である事がわかります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
計算は結構複雑でないみたいですね。
見た目にだまされました。

回答No.4

kkkk2222

普通は、３元、４元の連立方程式は避けますが、
此の問題に限れば、

　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝１
ーＡ＋Ｂ－Ｃ＋Ｄ＝１
　　　　Ｂ＋Ｄ＝１
　　　　Ａ＋Ｃ＝０

ー(i)ＡーＢ＋(i)Ｃ＋Ｄ＝－１
　　　　Ａ＝Ｃ
　　　－Ｂ＋Ｄ＝－１

Ａ＝Ｃ＝０、Ｂ＝１、Ｄ＝０
あまりは（Ｘ＾２）　と計算は複雑にならないようで・・・。
ーーーーーーーーー
または、
（Ｘ＾２００２）
＝（Ｘ＾２０００）（Ｘ＾２）
＝（Ｘ＾２０００）（Ｘ＾２）ー（Ｘ＾２）＋（Ｘ＾２）
＝（Ｘ＾２）［（Ｘ＾２０００）ー１］＋（Ｘ＾２）
と変形して、［（Ｘ＾２０００）ー１］は［（Ｘ＾４）ー１］で割り切れるので、
余りは、（Ｘ＾２）　とはなりますが、聊か技巧に走り過ぎて、連立を解いた方が良いかと・・・。

お礼

ご回答ありがとうございます。
二つめの解答は見事だと思います。
しかしそこまでこの問題に追求するぐらいなら、
連立といたほうがシンプルかも知れません。笑）

回答No.2

Mr_Holland

次の関係から導く方法はいかがでしょうか。

　　X-1=0 ⇒　X^n-1=0　（n：自然数)

　ここで、x^4=X、n=500とすると、
　　x^2000-1＝0
となるので、両辺にx^2を掛ければ、
　　x^2002-x^2＝0
となります。
　ところで、この式は、X-1=0　すなわち、x^4-1=0を前提としたときに成り立ちますので、Q(x)をxの多項式とすれば、
　　x^2002-x^2＝(x^4-1)・Q(x)
　∴x^2002＝(x^4-1)・Q(x)+x^2
となる。

お礼

ご回答ありがとうございます。
このやり方は今後参考にさせてもらいます。

回答No.1

info22

素直にやられた方が簡単ではないですか？
＞x^2002=(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)Q(x)+ax^3+bx^2+cx+d
＞つまり±1、±iを代入して
x=1を代入→1=a+b+c+d…(1)
x=-1を代入→1=-a+b-c+d…(2)
(±i)^2002={(±i)^2}^1001=(-1)^1001=-1ですから
x=iを代入→-1=i(c-a)+d-b…(3)
x=-iを代入→-1=-i(c-a)+d-b…(4)
(1),(2),(3),(4)を解いて
a=c=d=0,b=1
x^2002=(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)Q(x)+x^2
余りは x^2

お礼

ご回答ありがとうございます。
計算は意外と簡単だったみたいですね。