因数定理の問題

質問

xの整式P(x)をx-1で割ると1余り、x^2-x+1で割ると2x+1余るとき、P(x)を(x-1)(x^2-x+1)で割った余りを求めなさい。
と言う問題です。

解答
P(x)=(x-1)Q(x)+1・・・(1)
P(x)=(x^2-x+1)R(x)+2x+1・・・(2)
P(x)=(x-1)(x^2-x+1)S(x)+ax^2+bx+c・・・(3)
と問題から式が3つ書けますよね。

ここで、(2)と(3)より
(3)の余りの2次式は
a(x^2-x+1)+2x+1とおける
よって(3)の式は
P(x)=(x-1)(x^2-x+1)S(x)+a(x^2-x+1)+2x+1・・・(4)となる

(1)の式にx=1を代入して
P(1)＝１
(4)にx=1を代入して
P(1)＝a+3
したがって
a+3=1
a=-2
よって
-2(x^2-x+1)+2x+1
=-2x^2+4x-1
となる。
と書いてありました。

(3)の式を立てたのはわかりましたが
(3)の式が(4)の式になる理由がわかりません。それ以降は理解できました。
(3)が(4)になる過程の解説をお願いします。

回答No.2

tojyo · ベストアンサー

(2)式からP(x)は(x^2-x+1)で割ると(2x+1)あまるわけですから、(3)を(x^2-x+1)で割ってみます。(3)式のS(x)が掛けてある項は(x^2-x+1)で割り切れます。で残りの項(ax^2+bx+c)から余りを求めます。すると
ax^2+bx+c=a(x^2-x+1)+(a+b)x+(-a+c)なので余りは(a+b)x+(-a+c)です。
これと(2)式から(a+b)x+(-a+c)=2x+1となりb=-a+2,c=a+1が求められます。
これを(3)式に代入するとP(x)=(x-1)(x^2-x+1)S(x)+ax^2+(a+2)x+(a+1)=(x-1)(x^2-x+1)S(x)+a(x^2-x+1)+2x+1
が求まります。

回答No.3

postro

P(x)=(x-1)(x^2-x+1)S(x)+ax^2+bx+c・・・(3)
を(x^2-x+1)で割ったら2x+1あまるはずだから
ax^2+bx+cを(x^2-x+1)で割ったら2x+1あまるはずだ
ax^2+bx+cを(x^2-x+1)で割ったら商はa以外ありえない。
だから
ax^2+bx+c＝a(x^2-x+1)+2x+1　とかけるはずだ

回答No.1

matchless

P(x)=(x-1)(x^2-x+1)S(x)+ax^2+bx+c・・・(3)
P(x)=(x-1)(x^2-x+1)S(x)+a(x^2-x+1)-a(-x+1)+bx+c
P(x)=(x^2-x+1){(x-1)S(x)+a}-a(-x+1)+bx+c

ここでP(x)を(x^2-x+1)で割った余りは2x+1なので
-a(-x+1)+bx+c=2x+1

よって、
P(x)=(x^2-x+1){(x-1)S(x)+a}+2x+1
P(x)=(x-1)(x^2-x+1)S(x)+a(x^2-x+1)+2x+1・・・(4)

でわかるかな。