剰余の定理

質問

整式P(X)は(X-1)^2で割り切れ、X-3で割ったときの余りは4である。P(X)を(X-1)^2(X-3)で割ったときの余りを求めよ。
という問題なんですが解答には２次以下であるがP(X)は(X-1)^2で割り切れるので、ａ(Ｘ-1)^2と表せる。と書いてあるのですが、なんでこうなるか分りません。
ちなみに答えは(Ｘ-1)^2です。

解説をよろしくお願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

Ｐ（ｘ）を（ｘ－１）＾２（ｘ－３）で割った商をＱ（ｘ）、余りをＲ（ｘ）とすると
Ｐ（ｘ）＝（ｘ－１）＾２（ｘ－３）Ｑ（ｘ）＋Ｒ（ｘ）
と表されます。（ｘ－１）＾２（ｘ－３）はｘの三次式ですから、Ｒ（ｘ）はこれより次数の低い、つまり二次以下の式になります。
　また、Ｐ（ｘ）が（ｘ－１）＾２で割り切れ、（ｘ－１）＾２（ｘ－３）Ｑ（ｘ）も（ｘ－１）＾２で割り切れるのでＲ（ｘ)も（ｘ－１）＾２で割り切れなければなりません。
　これらのことからＲ（ｘ）は（ｘ－１）＾２を因数として持つ二次以下の式であることが判り、ａ（ｘ－１）＾２と表すことができます。

お礼

詳しい解説、どうもありがとうございました(#^.^#)

回答No.2

alice_44

余りつきの割り算は、
　　被除数 = 除数 × 商 + 余り
と書けます。

2 次式を 2 次式で割った商は (2 引く 2) 次式
つまり、定数です。

割りきれたのなら、余りは 0。

以上から、
　　P(X) を (X-1)^2 (X-3) で割った余り = (X-1)^2 × 定数 + 0
と書けますね。
この式の「定数」を a と置けば、右辺は a(X-1)^2 です。

お礼

理解できました。ありがとうございました＞＜