剰余の定理

質問

ｎ、ｍは正の整数で（x^nを、x^2+x+1で割った余りを求める問題）なんですが、
x^3m=(x^3-1)Q(x^3)+1を利用して！答えを出す問題なんですが、いまいちよくわかりません。よろしければ、解説お願いします。
解答には、
nを、３で割ったとき、余りが０の時は、x^3m=(x^3m-1)+1 で、余り１
nを、３で割ったら、余りが1の時、x^3m+1=x(x^3m-1)+x で余りｘ
nを、３で割ったら、余りが2の時、x^3m+2=x^2(x^3m-1)+(x^2+x+1)-x-1 で余り１である。

とあるのですが、
(1)(x^3m-1)がどこから出てきたのかわかりません。解説していただけないでしょうか？

x^3m=(x^3-1)Q(x^3)+1なっているので、3mは、3m,3m+1,3m+2でｎを表せるから、増えた指数の分だけ、掛けてやれば、それが、求める余りだということだと思うのですが、そう考えることを前提に、僕なりに下にあるように解いてみたんですが、なんで違うのかがわかりません。

n=３mのとき、
x^n=x^3m=(x^3-1)Q(x^3)+1
だから余りは、１

n=3m+1　のとき
x^n=x^3m+1=x(x^3-1)Q(x^3)+x・1 だから、余りは x

n=3m+2の時、
x^n=x^3m+2=x^2(x^3-1)Q(x^3)+x^2・1=x^2(x^3-1)Q(x^3)+(x^2+x+1)・1+(-x-1)
だから、余りは　(-x-1)

では、駄目なんでしょうか？

忙しい中、申し訳ないですが、ぜひ、解説、ご指導よろしくお願いいたします

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

同じことですね。

x^3m-1 = (x^3-1)Q(x^3)

の左辺を用いて書いたのがご紹介の解答で，右辺を用いて書いたのがdai22sukerさんの解答です。

お礼

早々とありがとうございます。
このような、すっきりした気分に浸れるのは、数学特有だと思います。
それに気付かせていただけました。
このたびは、忙しい中、回答本当にありがとうございました。
また、よろしくお願いします。