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剰余類の使い方
2か3どっちの剰余類を使えばいいかわからないので質問します。 1つ目の問題は、nを整数とする。n^2+1は3の倍数でないことを証明せよ。です。(以下kは整数を表すとする。) 自分は、(1)n=2kのとき, n^2+1=4k^2+1は3でくくれない。(2)n=2k+1のとき, n^2+1=4k^2+4k+1は3でくくれない。としたのですが、 問題集の解説では、(1)'n=3kのとき、n^2+1=3(3k^2)+1は3の倍数でない。(2)'n=3k+1のとき、n^2+1=3(3k^2+2k)+2は3の倍数でない。(3)'n=3k+2のとき、n^2+1=3(3k^2+4k+1)+2は3の倍数でない。(1)'～(3)'よりn^2+1は3の倍数でない。となっていいました。また自分が疑問に思うのはこの問題集の別の、nを整数とする。n^2を4で割った余りは0または1であることを証明せよ。という２つ目の問題では、整数nはn=2kとn=2k+1と表すことができるを利用して証明が行われていることです。 どなたか１つ目の問題では、3の剰余類をつかい、２つ目の問題では２の剰余類を使う理由を教えてください。よろしくお願いします。
- situmonn9876
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- tmppassenger
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そういう理解であれば、一先ずよいと思います。
- tmppassenger
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> nを3の剰余類で場合分けすると、n^2で9が係数にできて3でくくりやすくなるし それはある意味でそうですが、結局n^2 + 1は3の倍数でないので、最後までは3でくくれない訳ですよね？で、これと > n=2kのとき, n^2+1=4k^2+1は3でくくれない というのとの違いは、結局分かっていますか？ nを3の剰余類で場合分けしても、最後までは3ではくくれない。2の剰余類で場合分けしても、やはり3ではくくれない。にも拘わらず、前者の証明方針はよく、後者はだめである。この違いは結局どこにあるか分かっていますか？ つまり、「n^2+1は3の倍数でないことを証明せよ」と言われた時、結局何を示さないといけないのか、理解出来てますでしょうか？
補足
回答ありがとうございます。 n=2kのとき, n^2+1=4k^2+1を3でくくると、3(4/3k^2)+1となり(4/3k^2)の部分が整数になるかわからないので、3で割って１余るかがわかりづらい。nを３の剰余類で場合分けしたときは、3*整数+余りとなって余りがわかりやすい。 n^2+1=3*整数+余りで余りが1か2を示せばよいと思います。 よろしければお返事ください。お願いします。
- tmppassenger
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> 仮に n^2 + 2 だった場合は、n=2kのとき,n^2 + 2=4k^2+2で3でくくれないので、３の倍数でないことを示せるとおもうのですが。 しかし、n=4 (k=2)の時は、n^2 + 2 = 16 + 2 = 18となって、これは3の倍数ですよね？n=10 (k=5)の時も、n^2 + 2 = 102 は3の倍数ですよ。
お礼
ご指摘ありがとうございます。自分で考えて剰余類の使い方を分かったら、その考えがあっているか補足させていただきたいと思います。
補足
補足が遅れてすいません。 「n^2+1が３の倍数でないことを証明せよ。」について、 nを3の剰余類で場合分けすると、n^2で9が係数にできて3でくくりやすくなるし、係数が整数にしやすい。という考えに至りました。(途中nの余りが0,1,2で考えることが大切かとも思いましたが、n＾2の余りは0か1になるので、nの余りが0,1で考えても、そのことは変わらず、3の剰余類と２の剰余類の差が分かりませんでした。) 質問文の、１つ目の問題では3の剰余類をつかう理由としてあっているかどうか、回答していただけませんか。お願いします。
- asuncion
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＞1つ目の問題は、nを整数とする。n^2+1は3の倍数でないことを証明せよ。 3で割りきれないことを示せ、といわれてるので、mod 3で ≡ 1 または ≡ -1 であることを示せばよい。 ＞nを整数とする。n^2を4で割った余りは0または1であることを証明せよ。 こっちは、どっちかっていうとmod 4を使う方がいいと思う。 mod 4で ≡ 0 または ≡ 1 を示せばよいから。
お礼
お返事ありがとうございます。
- tmppassenger
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その前に、 > n=2kのとき, n^2+1=4k^2+1は3でくくれない というのは何を示そうとしているのですか？例えば、仮に n^2 + 2 だった場合はどういう理屈になりますか？
補足
お返事ありがとうございます。 n=2kのとき, n^2+1=4k^2+1は3でくくれないは、３の倍数でないことを示そうとして書きました。 仮に n^2 + 2 だった場合は、n=2kのとき,n^2 + 2=4k^2+2で3でくくれないので、３の倍数でないことを示せるとおもうのですが。
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