【標準問題(1)】剰余の定理！

質問

整式Ｐ(ｘ)をｘ-１で割ったときの余りが５、(ｘ+１)＾２で割ったときにの余りがｘ-８であるとき、Ｐ(ｘ)を(ｘ-１)(ｘ+１)＾２で割ったときのあまりを求めよ。

純粋に分かりません。

Ｐ(ｘ)＝(ｘ-１)(ｘ+１)＾２（商）+c(ｘ+１)＾２+ｘ-８
なのかな～って、思うのですが、、、

なぜ、上の式になるのか分かりません。『c(ｘ+１)＾２+ｘ-８←ここ！！』

お願いします！

回答No.1

debut · ベストアンサー

P(x)を(x-1)(x+1)^2で割ったときの余りはpx^2+qx+rとおける。
その商をQ(x)とすれば、
P(x)=(x-1)(x+1)^2Q(x)+px^2+qx+r

P(x)を(x+1)^2で割ったときの余りがx-8なので、
(x-1)(x+1)^2Q(x)の部分は(x+1)^2で割り切れるからいいとして、
px^2+qx+rを(x+1)^2で割ったときに　x-8　が余ればいいことに
なります。
つまり、px^2+qx+r　は c(x+1)^2+x-8 の形をしてればいい、という
わけです。

お礼

なるほど！！！！
最高に分かりやすかったです！！＞・＜

ありがとうございます！！”

回答No.2

mister_moonlight

この手の問題の質問が後を絶たない。それだけ考え難いという事なんだろう。

微分を習ってるなら、微分を使った方が判り易い。

Ｐ(ｘ)＝（ｘ-1）*Ａ（x）＋5　‥‥(1)
　　　＝(ｘ+1)＾2*Ｂ（x）＋（x-8）‥‥(2)
　　　＝(ｘ+1)＾2*（ｘ-1）*Ｃ（x）＋ax＾2＋bx＋c　‥‥(3)
(3)から、f（x）＝Ｐ(ｘ)－（ax＾2＋bx＋c）＝(ｘ+1)＾2*（ｘ-1）*Ｃ（x）であるから、f（1）＝f（-1）＝f´（-1）＝0。
(1)と(2)から、Ｐ(1)＝5、Ｐ(-1)＝-9　であるから、f（1）＝Ｐ(1)－（a＋b＋c）＝5-（a＋b＋c）＝0.　‥‥(1)
f（-1）＝Ｐ(-1)－（a-b＋c）＝-9-（a-b＋c）＝0　‥‥(2)
f´（x）＝Ｐ´(ｘ)－（2ax＋b）であるから、f´（-1）＝Ｐ´(-1)－（-2a＋b）＝1-b-2a＝0.　‥‥(3)
Ｐ´(ｘ)＝2*（x+1）*Ｂ（x）＋（x+1）＾2*Ｂ´（x）＋1による。

後は、(1)～(3)を連立して解くだけ。

お礼

すいません・・・微分はまだ・・・

回答ありがとうございました。