高校数学です。 実数を係数とする3次以下の x の

質問

高校数学です。
実数を係数とする3次以下の x の整式全体の集合を P とし、P の部分集合を A, B を次のように定める。
A={f(x)∈P|f(-x)=-f(x)}
B={g(x)∈P|g(-x)=g(x)}
このとき、以下の問いに答えよ。
(1) Aは次のどの形の整式全体の集合か？（選択肢は最後尾）
(2) Bは次のどの形の整式全体の集合か？（選択肢は最後尾）
(3) AとBの共通部分集合A∩Bはどれか？（選択肢は最後尾）
(4) Pの要素 ax^3+bx^2+cx+d をAの要素 f(x) とBの要素 g(x) の和として書くと、どういった形になるか？（「f(x)=～」「g(x)=～」の形で書け）
【(1)(2)(3)の選択肢】
・ax
・ax+b
・ax^2+b
・ax^2+bx+c
・ax^3+b
・ax^3+bx
・ax^3+bx+c
・ax^3+bx^2+c
・空集合
・要素が0だけの集合

以上の問題がわからず、困っています。
どなたか、解と解法を教えていただけないでしょうか。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

(1) Aは次のどの形の整式全体の集合か？
f(-x)=-f(x)からAは奇関数の部分集合。
よって答えは
・ax
・ax^3+bx
(2) Bは次のどの形の整式全体の集合か？
g(-x)=g(x)からBは偶関数の部分集合。
よって答えは
・ax^2+b
(3) AとBの共通部分集合A∩Bはどれか？
奇関数かつ偶関数は存在しない。
よって答えは
・空集合
(4) Pの要素 ax^3+bx^2+cx+d をAの要素 f(x) とBの要素 g(x) の和
として書くと、どういった形になるか？（「f(x)=～」「g(x)=～」
の形で書け）
f(x)は奇関数、g(x)は偶関数である。
よって答えは
f(x)＝ax^3+cx、g(x)＝bx^2+d

お礼

ご回答ありがとうございます。
わかりやすい説明でした。
特に、「奇関数」「偶関数」は知らない知識であったため、勉強になりました。

その後、解答を入手することができたのですが、入手した解答には解説がなかったため、教えていただいた解法のおかげで、大変助かりました。

なお、(3)の解は「要素が0だけの集合」であることがわかりましたので、あわせてご報告いたします。

回答No.3

tmpname

(3)

本当にAとBとの共通部分はありませんか？例えば
y=xは当たり前ですけど y=x+0ですよ？

お礼

ご指摘の通りです。
AとBには、「要素が0だけの集合」という共通部分がありました。

提示していただいた例のおかげで、理解ができました。
助かりました。
ありがとうございます。

回答No.1

entap

A={f(x)∈P|f(-x)=-f(x)}
B={g(x)∈P|g(-x)=g(x)}
の意味はよろしいでしょうか?
Aについては、
「Aは、f(x)で、f(x)は、Pに所属するのだけれども、そのf(x)は、f(-x)が-f(x)であるようなxだよ」
ということで、Bについては
「Bは、g(x)で、g(x)は、Pに所属するのだけれども、そのg(x)は、g(-x)がg(x)であるようなxだよ」
ということですね。

具体例を考えると、
Aは、ax^3+bx,のような、指数が奇数のxでできているような関数ですね。
Bは、ax^4+bx^2+cのような、指数が偶数のxと、定数項でできているような関数ですね。
この二つは背反な事象です。

これで(1),(2),(3)は回答できますね。

で、(4)の補足がちょっと意味不明です。
P=f(x)+g(x)でよいのではないでしょうか?

以上です。

お礼

さっそくのご回答、ありがとうございます。
集合Aと集合Bが背反である点のご指摘が特に勉強になりました。
助かりました。