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2つの関数f(x)=x^4 -x、

g(x)=ax^3 +bx^2 +cx +dがf(1)=g(1)とf(-1)=g(-1)をみたすとき、積分∫[-1~1]{f(x)-g(x)}^2 dxを最小にするa、b、c、dの値を求めよ f(1)=g(1)とf(-1)=g(-1)からa+c=-1、b+d=1 f(x)-g(x)=x^4 -ax^3 -bx^2 +ax +b -1 なのは分かりますが、これを二乗して積分しようとすると非常に長い式になり、また、解くことも出来ません 解き方を教えてください

noname#174708
noname#174708

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積分区間の対称性から {f(x)-g(x)}^2の展開式の奇関数部(xの奇数べき乗項の和)の積分はゼロ、偶関数部(xの偶数べき乗項の和)h(x)の積分は区間[0~1]のh(x)の積分の2倍となることを利用して積分すればよい。そうすれば計算が少しは楽になるでしょう。 I=∫[-1~1]{f(x)-g(x)}^2 dx =∫[-1~1](x^4-ax^3-bx^2+ax+b-1)^2 dx =2∫[0~1] h(x) dx h(x)=x^8+(a^2-2b)x^6+(b^2+2b-2a^2-2)x^4 +(a^2-2b^2+2b)x^2+(b-1)^2 なので、これを代入して積分 I=(16/315)(3a^2+21b^2-48b+28) =(16/315){3a^2+21(b-(8/7))^2+(4/7)} =(16/315){3a^2+21(b-(8/7))^2}+(64/2205) ≧64/2205 最小値「64/2205」をとるときは a=0,b=8/7 のときである、この時のc,dは > a+c=-1、b+d=1 より  c=-1, d=-1/7 となる。 [チェック]計算は合ってると思いますが、 計算ミスしてるかもしれないので、自身で計算をして確認してみて下さい。

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その他の回答 (1)

  • 回答No.1

>これを二乗して積分しようとすると非常に長い式になり、また、解くことも出来ません 2乗して展開するとxの8次式となりますが ∫[-1~1]x^2ndx=2/(2n+1) ∫[-1~1]x^(2n+1)dx=0 を使うと(つまり偶数乗項だけがのこ地、奇数乗項は消える) I=∫[-1~1]{f(x)-g(x)}^2 dx=2[1/9+(a^2-2b)/7+(b^2-2(b-1)-2a^2)/5+(a^2-2b(b-1))/3+(b-1)^2] aは2乗の項だけで係数は最終的に8/105>0 よってIを最少にするのはa=0 bの項は(56b^2-113b)/105 が残ります。 これを最小にするのは b=113/112 c=-1 d=-1/112 急いで計算しました。計算違いもあり得ます。確認してください。

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質問者からの補足

回答ありがとうございます 答えは b=8/7 c=-1 d=-1/7 でしたが、何が違うのでしょうか

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