整式の除法に関する問題です。

質問

整式の除法に関する問題です。
「ax^n+bx^(n-1)+1が(x-1)^2で割り切れるとき、a、bをnで表せ」という問題です。
私は
　ax^n+bx^(n-1)+1=f(x)(x-1)^2と表せることから、両辺のxに1を代入して、
　a+b+1=0
を得ましたが、これで良いのでしょうか？
a、bをnで表せていません。どなたかアドバイスの程宜しくお願い致します。

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

微分を知ってるなら、いとも簡単。

f(x)が(x-1)^2で割り切れるとき、f(1)＝f´(1)＝0が成立する。
f(1)＝a＋b＋1＝0　‥‥(1)、f´(x)＝an*x＾(n-1)＋b(n-1)*x＾(n-2)　から、an＋b(n-1)＝0‥‥(2).
あとは、(1)と(2)を連立して解くだけ。

f(x)が(x-a)^2で割り切れるとき、f(a)＝f´(a)＝0が成立する　事は、その証明も結果も覚えておいたら良い。　
もし、証明方法がわからなければ、検索したら良い。

お礼

mister_moonlight様ありがとうございます。なるほど、「f(x)が(x-a)^2で割り切れるとき、f(a)＝f´(a)＝0が成立する」ことを利用するのですね。大変参考になりました。ありがとうございました。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。
ちょっと「ひねり」がいる問題だと思います。＾＾

＞ax^n+bx^(n-1)+1=f(x)(x-1)^2と表せることから、両辺のxに1を代入して、

ax^n+ bx^(n-1)+1＝ f(x)(x-1)（最後が 2乗ではない）と表しても、同じ条件式（a+ b+ 1＝ 0）を得ることになります。。
つまり、「(x-1)^2で割りきれる」という条件にはなっていません。

そこで「ひねり」なのですが、両辺を xで微分してみてください。
もうひとつ、条件式を得ることができます。

お礼

naniwacchi様ありがとうございます。なるほど、「f(x)が(x-a)^2で割り切れるとき、f(a)＝f´(a)＝0が成立する」ことを利用するのですね。大変参考になりました。ありがとうございました。