整式P(x)を(x-1)(x+2)で割ったときの余りが7x、x-3で割

質問

整式P(x)を(x-1)(x+2)で割ったときの余りが7x、x-3で割ったときの余りが1のとき、P(x)を(x-1)(x+2)(x-3)で割ったときの余りを求めよ。

解答
『P(x)を(x-1)(x+2)で割ると余りが7xであるから、
P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)Q(x)+a(x-1)(x+2)+7x』 ・・・(1)
と表せる。

(計算省略)

よって、求める余りは、-2x^2+5x+4

質問は、『 』のところです。なぜ、このような式になったのか、特に、どうしてa(x-1)(x+2)+7 のような式が出てくるのか、理解できません。

教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

goomooku · ベストアンサー

『P(x)を(x-1)(x+2)で割ると余りが7xであるから、
P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)Q(x)+a(x-1)(x+2)+7x』 ・・・(1)

P(x) を (x-1)(x+2)(x-3) (３次式) で割った余りは２次式ですから、No.1 さんがおっしゃるとおり、余りを「Ax^2 + Bx + C 」(ただし「^2」は２乗の意味）とおくことができます。

このとき、「元の P(x) を (x-1)(x+2) で割った余り」と、「Ax^2+Bx+C を (x-1)(x+2) で割った余り」は一致します。

後者の商は普通の数（「D」とします）になりますし、余りは１次式(「Ex+F」とします）になります。すなわち、

Ax^2+Bx+C = D(x-1)(x+2) + Ex+F

ところが、実際には、P(x) を (x-1)(x+2) で割った余りは「7x」ですから、

Ex+F = 7x

です。すなわち、

Ax^2+Bx+C = D(x-1)(x+2) + 7x

ここで、改めて「D」を「a」という別の文字に置き換えると（特に意味はありません。たんに文字を変えただけです）、

Ax^2+Bx+C = a(x-1)(x+2) + 7x

したがって、商をQ(x) とすれば、

P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)Q(x)+a(x-1)(x+2)+7x

となります。

お礼

回答ありがとうごさいました。

おかげさまで、理解することができました。

回答No.1

Tacosan

「a(x-1)(x+2)+7」じゃなくて「a(x-1)(x+2)+7x」ね.
で, それは後の計算を簡単にするためそう置いただけ. 何も考えず, 余りを (3次式で割った余りだから 2次になるので) ax^2+bx+c と置いてもいい.

補足

回答ありがとうごさいます。

ちなみに、a(x-1)(x+2)+7x は、どのようにして出たのですか？

教えてください。