この問題がわかりません

質問

整式f(x)をx-2で割ると6余り、(x-1)^2で割ると2x+1余るという。
この整式f(x)を{(x-1)^2}(x-2)で割ったときの余りを求めよ。

この問題の解説に

整式f(x)を3次式{(x-1)^2}(x-2)で割ったときの余りは、2次式以下の整式で、さらにf(x)を(x-1)^2で割ったときの余りが2x+1であることから、g(x)をある整式として、
f(x)={(x-1)^2}(x-2)g(x)+{a(x-1)^2}+2x+1・・・(1)
とかける

・・・　（以下省略）

という風にあるのですが、

(1)の余りの部分が
なぜ{a(x-1)^2}+2x+1にになるのかが謎です。

あと、なぜ
商q(x)じゃなくて、ある整式g(x)になるのですか？

回答No.3

info22 · ベストアンサー

>なぜ{a(x-1)^2}+2x+1にになるのかが謎です。
できるだけ与えられた条件を式の中に書き込むことで、解答が短くまとめられるので、このような表現の仕方が模範解答などでよく使われます。
問題の条件をできるだけ式中に入れ込むことを覚えると
解答が短くなるので覚えておくだけの価値がありますね。
>f(x)={(x-1)^2}(x-2)g(x)+{a(x-1)^2}+2x+1・・・(1)
f(x)={(x-1)^2}(x-2)q(x)+ax^2+bx+c …(2) ←未知数が3個
f(x)={(x-1)^2}q1(x)+2x+1 …(3)
f(x)=(x-2)q2(x)+6　…(4)
といった置き方ができますね。
(2)を(3)の条件式の形に変形すると
f(x)={(x-1)^2}(x-2)q(x)+a(x-1)^2+2x+1
={(x-1)^2}{(x-2)q(x)+a}+2x+1
={(x-1)^2}q1(x)+2x+1
ここで、q1(x)=(x-2)q(x)+a …(5)　ということですね。
q1(x)を(5)の形に直すことで(2)式が(1)のように書くことができると同時に、未知数がa,b,cの3個からaの1個だけに減らせ、条件式を
(1)と(4)式だけに少なくできます。
つまり、(4)の条件式はf(2)=6ということなので
(1)でf(2)を計算するとaの値が簡単に求まる分けですね。
(2)式の様におくと
(3)の条件からf(1)=a+b+c=3
(4)の条件からf(2)=4a+2b+c=6
これらから
　b=3(1-a),c=2a　…(6)
これを(2)式に代入してやると
f(x)={(x-1)^2}(x-2)q(x)+ax^2+3(1-a)x+2a
={(x-1)^2}(x-2)q(x)+a(x-1)(x-2)+3x
={(x-1)^2}(x-2)q(x)+a(x-1)(x-1-1)+3x
={(x-1)^2}(x-2)q(x)+a(x-1)(x-1)-a(x-1)+3x
={(x-1)^2}(x-2)q(x)+a(x-1)(x-1)+(3-a)x+a
={(x-1)^2}(x-2)q(x)+a(x-1)^2+(3-a)x+a
={(x-1)^2}(x-2)q1(x)+(3-a)x+a
ここで(3)式から
　　(3-a)x+a=2x+1
q1(x)=(x-2)q(x)+a
ということから
　　a=1,q1(x)=(x-2)q(x)+1
となり、(5)式のq1(x)が求まり、
a=1を(4)に代入して b=0,c=2 が得られます。

このように、(2)の式で与える場合と
(1)式で与え、f(2)=a+5=6　から a=1を得る場合では

(1)の置き方の方の解答が、aだけ求めれば良いので、
いかに短く効率よくまとめることができるか、
理解できるでしょう。

未知数を1個に減らせるということは、a,b,cの連立方程式を解かなくてもよいというメリットを生みます。

>商q(x)じゃなくて、ある整式g(x)になるのですか？
商をq(x)とすると
f(x)= …
と書ける。
でも良いですよ。
単なる表現の違いに過ぎません。
「と書ける。」とか「と書くことができる。」
とうい表現が重要ですね。

補足

回答ありがとうございます。理論はわかったんですが、
>(2)を(3)の条件式の形に変形
のやり方がわかりません(>_<)

回答No.6

arrysthmia

立式の過程が解りませんか？
No.1 の考え方を書いてみましょう。

f(x) を｛(x-1)~2｝(x-2) で割った
商を q(x)、余りを r(x) と置くというのは、
f(x) =｛(x-1)~2｝(x-2)・q(x) + r(x)
ということです。
r(x) は、3 次式で割った余りですから、
2 次以下の式ですね。
｛(x-1)~2｝(x-2)・q(x) が (x-1)~2 で割り切れるので、
r(x) を (x-1)~2 で割った余りは、
f(x) を (x-1)~2 で割った余りと同じです。
2x+1 でしたね。
r(x) を (x-1)~2 で割った商のほうは、
2 次式を 2 次式で割るのだから、
高々 0 次の式、すなわち定数です。
その定数を a と置けば、
r(x) =｛(x-1)~2｝a + (2x+1)
と書けますね。

代入して、両式から r(x) を消去すれば、
質問の式になります。

お礼

解くことができました。
ありがとうございます。m(__)m

回答No.5

info22

>どういった理由でq1(x)=(x-2)q(x)+a・・・(5)
>になるのかがわかりません・・・

>aってなんですか？？

(2)式から導いた式なので(2)式の中のa以外に他に無いでしょう。
(5)式も(2)式から(3)式を経て導出されていますので
式の変形が理解できなければ、諦めて下さい。

式の変形をおってみれば分かるはず。
それ以上の説明のしようがありません。

回答No.4

info22

#3です。
A#3の補足質問について

>のやり方がわかりません(>_<)
>>(2)を(3)の条件式の形に変形
この行の下の４行にわたって書いてあると思いますが...。
ちゃんと自分で写して式変形をして、じっくり変形の意味を考えてくれればわかってくるはずです。

回答者の説明や途中計算の計算を理解しようとする質問者さんの努力も必要ですよ。と思います。

補足

どういった理由でq1(x)=(x-2)q(x)+a・・・(5)
になるのかがわかりません・・・

aってなんですか？？

一応考えたんですがわかりません

回答No.2

naniwacchi

＞商q(x)じゃなくて、ある整式g(x)になるのですか？
商は「あるxの関数」というだけですので、q(x)と必ず表すというわけではありません。
「quotient」という英語の頭文字をとっているだけです。
ちなみに、「余り」は「remainder」で、これも頭文字をとって r(x)とよく表します。

まず、問題文を式にしてしまいましょう。
以下、A(x)、B(x)、C(x)はあるxの関数を表しています。

＞整式f(x)をx-2で割ると6余り、(x-1)^2で割ると2x+1余るという。
f(x) = (x-2)*A(x)+6 …(1)
f(x) = (x-1)^2*B(x)+(2x+1) …(2)

＞この整式f(x)を{(x-1)^2}(x-2)で割ったとき
f(x) + (x-1)^2*(x-2)*C(x)+(xの2次式) …(3)

(1)～(3)式は、同じ f(x)に関する式ですので同時に満たされることになります。
(3)式の形の f(x)を (x-1)^2で割ったとき、余りは(xの2次式)から現れることになります。
(x-1)^2 自体が2次式なので、
(xの2次式)=(x-1)^2の何倍か+(xの1次式) と表されることになり、
このときの余りは 2x+1と書かれているので、最終的に
(xの2次式)=a*(x-1)^2+(2x+1) と書けることになります。

回答No.1

arrysthmia

整式 f(x) を3次式 {(x-1)^2}(x-2) で割ったときの余りは2次式以下の整式で、
さらに f(x) を (x-1)^2 で割ったときの余りが 2x+1 であることから、
f(x) を3次式 {(x-1)^2}(x-2) で割った商を q(x)、余りを r(x) として、
f(x) = {(x-1)^2}(x-2) q(x) + r(x),
r(x) = {(x-1)^2} a + (2x+1).
と書ける。