高次方程式の解放

質問

こんばんわ！
早速問題文を掲載させていただきます。

「整式f（x）を（x＾２＋１）で割ると、－５x－１０余り、
x－２で割ると－５余る。
このとき、f（x）を（x＾２＋１）（x－２）で割った余りを求めよ」
（ちなみx＾２はエックスの二乗という意味です。）

とりあえず僕はf（２）＝－５・・・(1)
f（x＾２＋１）＝－５x－１０・・・(2)
そして
f（x）＝（x＾２＋１）（x－２）Q（x）＋ax＾２＋bx＋c・・・(3)
と置きましたがその後進展しません。
ちなみにQ（x）は商、そしてax＾２＋bx＋cと置いたのは
割る式が三次式なので余りは二次以下だと思ったからです。

ちなみに解答は
f(x）＝（x＾２＋１）（x－２）Q（x）＋a（x＾２＋１）－５x－１０
と置ける、とあります。

さっぱり分かりません。
答えは３x＾２－５x－７のようです。

宜しくお願いします

回答No.3

owata-www · ベストアンサー

＞この場合
f（x）/（x＾２＋）１＝－５x－１０ですよね。
するとf(x)＝（（x＾２＋）１）＊（－５x－１０）になる
という事でしょうか？

いえいえ、全然違います

＞ax＾２＋bx＋c＝a(x^2+1)-5x-10
もどうしてそうなるか分かりません。

そうですね、確かに書き方が悪かったですね

私が言いたかったのは
＞f（x）＝（x＾２＋１）（x－２）Q（x）＋ax＾２＋bx＋c・・・(3)
と置きましたがその後進展しません。
ちなみにQ（x）は商、そしてax＾２＋bx＋cと置いたのは
割る式が三次式なので余りは二次以下だと思ったから
というのはいいんですが、余りをax^2+bx+cとおくのは芸がありません

すべての２次式は
a(x^2+1)+bx+c
と置くことができます。

つまり、
f（x）＝（x＾２＋１）（x－２）Q（x）＋a（x＾２＋１）＋ｂｘ＋ｃ
となります。そして、ｆ（ｘ）を（ｘ＾２＋１）で割った余りが－５ｘ－１０になるので、
＋ｂｘ＋ｃは－５ｘ－１０ということがわかります。

よって、
f（x）＝（x＾２＋１）（x－２）Q（x）＋a（x＾２＋１）－５ｘ－１０

となるわけです

お礼

おお！目から鱗ですね。

＞すべての２次式は
a(x^2+1)+bx+c
と置くことができます＞
がまさに求めていたものでした。

展開するとax＾２＋bx＋a＋cになり
これはa＋cをCとみなすと
まさにAX＾２＋BX＋Cの事ですね。

どうもありがとうございました。

回答No.2

owata-www

まず
＞f（x＾２＋１）＝－５x－１０・・・(2)
間違い

＞f（２）＝－５
これはあってますが、どうしてこうなるかお分かりでしょうか？
因数定理
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/insteiri/insteiri.htm
からなんですが

要するに
＞整式f（x）を、x－２で割ると－５余る。
から
f(x)=(x-2)A(x) -5　A(x)や商　とおけるわけです。ここにx=2を代入すると(2-2)A(2)=0より
f(2)=-5
になるわけです。

＞f（x）＝（x＾２＋１）（x－２）Q（x）＋ax＾２＋bx＋c・・・(3)
と置きましたがその後進展しません。
＞解答はf(x）＝（x＾２＋１）（x－２）Q（x）＋a（x＾２＋１）－５x－１０と置ける、とあります。

質問者の方のように置いても間違いではありませんが、これでは解くことは出来ません

ここで、
＞整式f（x）を（x＾２＋１）で割ると、－５x－１０余り
を使うことを考えるわけです
ax＾２＋bx＋cはさらに(x^2+1)で割ることができますよね、それを使うんです
f（x）＝（x＾２＋１）（x－２）Q（x）＋ax＾２＋bx＋cで（x＾２＋１）（x－２）Q（x）は(x^2+1)で割り切れるためにf(x)を(x^2+1)で割った余りはax＾２＋bx＋cを(x^2+1)で割った余りと等しくなります。

つまり、ax＾２＋bx＋c＝a(x^2+1)-5x-10であり、
f（x）＝（x＾２＋１）（x－２）Q（x）＋a（x＾２＋１）－５ｘ－１０
⇔f（x）＝（x＾２＋１）{（x－２）Q（x）＋a｝－５ｘ－１０　（x－２）Q（x）＋aがf(x)をx^2+1で割った時の商
になるわけです。

さて、
f（x）＝（x＾２＋１）（x－２）Q（x）＋a（x＾２＋１）－５ｘ－１０
とf(2)＝-5を考えればaの値が求まり、求める余りつまり
a（x＾２＋１）－５ｘ－１０
が求まるわけです

補足

ご回答ありがとうございます。
頭の中のもやもやが解消しつつあります。

＞f（x）＝（x＾２＋１）（x－２）Q（x）＋ax＾２＋bx＋cで（x＾２＋１）（x－２）Q（x）は(x^2+1)で割り切れるためにf(x)を(x^2+1)で割った余りはax＾２＋bx＋cを(x^2+1)で割った余りと等しくなります。

ここまでは理解できました。
この場合
f（x）/（x＾２＋）１＝－５x－１０ですよね。
するとf(x)＝（（x＾２＋）１）＊（－５x－１０）になる
という事でしょうか？

＞ax＾２＋bx＋c＝a(x^2+1)-5x-10
もどうしてそうなるか分かりません。

よろしくお願いします

回答No.1

mister_moonlight

この手の問題の質問があとを絶たない。考えにくいところがあるようだ。

＞f(x）＝（x＾２＋１）（x－２）Q（x）＋a（x＾２＋１）－５x－１０
と置ける、とあります。さっぱり分かりません。

f(x）＝（x＾2+1）*（x-2）*Ｇ（x）＋Ｈ（x）とすると、Ｈ（x）は高々2次式。
しかも、（x＾2+1）*（x-2）*Ｇ（x）は、（x＾2+1）で割り切れるから、Ｈ（x）を、（x＾2+1）で割った余りは、f(x）を（x＾2+1）で割った余りに等しい。
よって、Ｈ（x）＝a（x＾2+1）-（5x+10）。

お礼

回答をありがとうございます。

これからも数学の質問で僕をみかける事があると思いますが
また宜しくお願いします