この問題がわかりません

質問

整式f(x)をx-2で割ると6余り、(x-1)^2で割ると2x+1余るという。
この整式f(x)を{(x-1)^2}(x-2)で割ったときの余りを求めよ。

この問題の解説に

整式f(x)を3次式{(x-1)^2}(x-2)で割ったときの余りは、2次式以下の整式で、さらにf(x)を(x-1)^2で割ったときの余りが2x+1であることから、g(x)をある整式として、
f(x)={(x-1)^2}(x-2)g(x)+{a(x-1)^2}+2x+1・・・(1)
とかける

・・・　（以下省略）

という風にあるのですが、

(1)の余りの部分が
なぜ{a(x-1)^2}+2x+1にになるのかが謎です。

あと、なぜ
商q(x)じゃなくて、ある整式g(x)になるのですか？

回答No.1

arrysthmia

整式 f(x) を3次式 {(x-1)^2}(x-2) で割ったときの余りは2次式以下の整式で、
さらに f(x) を (x-1)^2 で割ったときの余りが 2x+1 であることから、
f(x) を3次式 {(x-1)^2}(x-2) で割った商を q(x)、余りを r(x) として、
f(x) = {(x-1)^2}(x-2) q(x) + r(x),
r(x) = {(x-1)^2} a + (2x+1).
と書ける。