高校数学の数列の和の計算 4-7

質問

次の和を計算せよ

(1)Σ[k=1→n]k・nCk
(2)Σ[k=1→n]k^2・nCk

解説はK・nCk=n・n-1Ck-1となっていてこの式の意味が左辺がn人からk人を選び、そのk人から1人のリーダーを選ぶという場合の数で右辺はn人から1人のリーダーを選んでからk人の組をつくるという場合の数で一致するとあるのですが、左辺は分かりますが右辺の意味ですが1人のリーダを選んだ後n-1任からk組作るのだったらn・n-1Ckじゃないんですか？

(2)は（１）のK・nCk=n・n-1Ck-1を使って

Σ[k=1→n]k^2・nCk=nΣ[k=1→n]k・n-1Ck-1(1)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=nΣ[k=1→n]｛(k-1)・n-1Ck-1｝+n-1Ck-1}(2)

=n[Σ[k=2→n]｛(k-1)・n-1Ck-1｝+Σ[k=1→n]n-1Ck-1](3)

=n[(n-1)Σ[k=2→n]｛(n-2)・n-1Ck-2｝+Σ[k=1→n]n-1Ck-1](4)

=n(n-1)・2^(n-2)+n・2^(n-1)(5)

=n(n+1)・2^(n-2)(6)とあるのですが(1)から(2)、(2)から(3)、(3)から(4)の変形をどうやったのか分かりません

回答No.2

f272 · ベストアンサー

(1)
> 1人のリーダを選んだ後n-1任からk組作るのだったらn・n-1Ckじゃないんですか？

1人を選んだら、残りのn-1人からk-1人を選ぶんだろう。

(2)
(1)から(2)の変形はkをk-1と1に分解する
(2)から(3)の変形はΣを分解した上で、k=1のときに0になるから省略する
(3)から(4)の変形は「K・nCk=n・n-1Ck-1を使って」と同じこと。

お礼

御返答有難うございます

補足

>(2)から(3)の変形はΣを分解した上で、k=1のときに0になるから
>省略する
分解したけどnΣ[k=1→n]｛(k-1)・n-1Ck-1｝+n-1Ck-1}でk=1を代入したらnΣ[k=1→n]｛(k-1)・n-1Ck-1｝は0だけど

nΣ[k=1→n]n-1Ck-1はn-1C0になるんですが、n-1C0って何になるんですか？0ですか？

＞(3)から(4)の変形は「K・nCk=n・n-1Ck-1を使って」と同じこ

>と。

(3)はn[Σ[k=2→n]｛(k-1)・n-1Ck-1｝+Σ[k=1→n]n-1Ck-1]になっていて(k-1)・n-1Ck-1になっているのですが、

K・nCk=n・n-1Ck-1はどうやって使うんですか？

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

>K・nCk=n・n-1Ck-1

1人選んだら残りはk―1人選ぶことになりますよね?

〉(2)

地道に式変形して下さい。
これができないようなら中ー用の問題集に
切替ましょう。マジで。

今の問題集はあなたにとって時間のむだです。
学力と問題集のレベルが違いすぎます。
4~5年分のギャップを埋める覚悟が必要です。

お礼

御返答有難うございます

補足

でもこれ数列だし高校数学ですよ？何で中学なんですか

きちんと説明してくれたら納得出来ると思うので、どうか宜しくお願いします