数列の和の問題です。

質問

以下の２問にお答え願いますでしょうか？　かなり時間かけたんですが解答がないんで困ってます。ご協力お願いいたします。

　自然数ｘに対して√ｘの整数部分をｆ（ｘ）で表す。
(1)ｋを自然数とするとき、ｆ（ｘ）＝ｋを満たす自然数ｘの個数をｋを用い　て表せ。
(2)ｎを自然数とするとき、次のｎ＾２個の整数
　ｆ（１），ｆ（２），ｆ（３），・・・・・・，ｆ（ｎ＾２）の和をｎを　用いて表せ。

回答No.3

naniwacchi

#2（#1）です。

すみません、肝心なところで勘違いをしてしまいました。
Σ{ k* (2k+ 1) }
としましたが、違ってました。

先に書きならべていた数の最後を書き出してみると、
f(x)= n- 1：√(n- 1)^2, …, √(n^2- 1) ⇒ この群の和は (n- 1)×(2n- 1)
f(x)= n：√(n^2) ⇒ 最後の項は、n

となるので、
Σ{ k* (2k+ 1) }+ n^2
Σの和は、k= 1～ n-1までになります。

ですので、答えは合っていますね！
失礼しました。

回答No.2

naniwacchi

#1です。

＞(1)２ｋ＋１
＞(2)１／６・ｎ・（４ｎ＾２－３ｎ＋５）
＞ですかね？

(1)は合ってますね。
奇数を順番に足したものが 2乗の数になる（Σ(2k- 1)= n^2）ことの
逆になりますね。
k^2+ (2k+ 1)= (k+ 1)^2

(2)は違ってます。
まず、n^2までの和であるところが、nまでの和になっているように思います。
次に (1)で答えが求まっているので、式で表すと
Σ{ k* (2k+ 1)} （k= 1～ n^2までの和をとる）

もう1回計算してみてください。

回答No.1

naniwacchi

いくつかの数を具体的に書き出してみると、考えやすいと思います。

f(x)= 1：√1, √2, √3
f(x)= 2：√4, √5, √6, √7, √8
f(x)= 3：√9, √10, √11, √12, √13, √14, √15
f(x)= 4：√16, √17, …

(1) 各行の先頭に書かれている数字は、2乗の数になっています。
つまり、√の中が 2乗の数～次の 2乗の数の 1つ手前までの間は、
整数部分は同じということになります。
これを式に表すと、xに対する不等式になります。
あとは、その中に含まれている自然数の個数を計算します。

(2) (1)の結果から、群数列のように各群の個数がわかります。

上に並べている部分について書いてみると、
f(1)～f(3)は、整数部分が 1 ⇒ この群の和は、1×3
f(4)～f(8)は、整数部分が 2 ⇒ この群の和は、2×5
f(9)～f(15)は、整数部分が 3 ⇒ この群の和は、3×7
f(16)～f(…)は、整数部分が 4 ⇒ この群の和は、4×…

（整数部分）×（その群の個数）を足し上げることになります。

お礼

ありがとうございました。
解答は
(1)２ｋ＋１
(2)１／６・ｎ・（４ｎ＾２－３ｎ＋５）
ですかね？