数列の問題

質問

高校2年生のものです。
ある問題集に次のような問題がありました。

数列X1、X2、・・・Xnは、n個の自然数1、2・・・nを並べ替えたものである。
Σ(Xk-k)^2+Σ(Xk-n+k-1)^2をnの式で表せ。

Σはちなみにここでは書けないので説明しますが、k=1から始まりnまでの和です。
僕は工夫したやり方が思いつかなかったので展開して計算していきました。
しかしとてつもなくめんどくさい事になったので、途中で断念しました。
この問題はどう解いたらいいのでしょうか？教えてください。

回答No.3

age_momo

添字はX[k]と表してみましょう。
そうすると問題は

Σ(X[k] - k)^2 + Σ(X[k] - n + k -1)^2

を求めると理解しました、合ってますか？
合っていることを前提に続きを書くと、これを一旦展開して

Σ(X[k]^2+k^2-2kX[k]) + Σ{X[k]^2+(n-k+1)^2 -2(n^k+1)X[k]}
=2ΣX[k]^2 + Σk^2 + Σ(n-k+1)^2 - 2ΣkX[k] - 2Σ(n-k+1)X[k]
=2ΣX[k]^2 + Σk^2 + Σ(n-k+1)^2 - 2Σ(k+n-k+1)X[k]
=2ΣX[k]^2 + Σk^2 + Σ(n-k+1)^2 - 2Σ(n+1)X[k]
=2ΣX[k]^2 + Σk^2 + Σ(n-k+1)^2 - 2(n+1)ΣX[k]

後はこれに

ΣX[k] = n(n+1)/2
ΣX[k]^2 = Σk^2 = Σ(n-k+1)^2 = n(n+1)(2n+1)/6

を適用するだけでしょう。

回答No.2

noname#110000

Σ(X_k)とΣkはn(n+1)/2でイコールであること，
またΣ(X_k)^2とΣ{k^2}もn(n+1)(2n+1)/6でイコールであることに気がつけば，
問題の式を展開していって解けるような気がするのですが…
問題を全く理解してないような勘違いだったら申し訳ないです。。

回答No.1

kmasacity

直接回答ではないですが、スモールｋとｋが判別しづらいので、なにか括弧をつけるなどして定義して下さい。ｎも