数学B 数列 センター向けの問題です

質問

数列{xn}は
x1=5,x(n+1)=xn+2 (n=1,2,3,・・・)
で定義された数列である。
x2=7,x3=9
であり、
xn=2n+3
である。

次に、数列{yn}は
y1=3,y(n+1)=yn+2n+3 (n=1,2,3,・・・)
で定義された数列である。このとき
yn=n^ア+イn
Σ[k=1→n]yk=(1/6)n(n+ウ)(エn+オ)
である。

さらに、数列{zn}を
x1,y1,y2,x1,x2,x3,y1,y2,y3,y4,・・・
とし、この数列{zn}を
x1|y1,y2|x1,x2,x3|y1,y2,y3,y4|・・・
のように、１個、２個、３個、４個、・・・と区画に分ける。すなわち、l=1,2,3,・・・として
第(2l-1)区画にはx1,x2,x3,・・・,x(2l-1)
の項があり、
第2l区画にはy1,y2,y3,・・・,y2l
の項があるように区画に分ける。

このとき、z199は第カキ区間のク番目の項であるから
z199=ケコ
である。また
Σ[k=200→240]zk=サシスセ
である。

解答
n^ア+イn=n^2+2n
(1/6)n(n+ウ)(エn+オ)=(1/6)n(n+1)(2n+7)
カキ=20
ク=9
ケコ=99
サシスセ=3815

この問題の解き方がわかりません
解き方を教えて下さい

よろしくお願いします

回答No.3

ferien · ベストアンサー

＞数列{xn}は
＞ x1=5,x(n+1)=xn+2 (n=1,2,3,・・・)
＞ で定義された数列である。
＞ x2=7,x3=9
＞ であり、
＞ xn=2n+3
＞ である。
Σ[k=1→n]xk=n(n+4)　……(1)

＞次に、数列{yn}は
＞ y1=3,y(n+1)=yn+2n+3 (n=1,2,3,・・・)
＞ で定義された数列である。このとき
＞ yn=n^ア+イn
＞ Σ[k=1→n]yk=(1/6)n(n+ウ)(エn+オ)
＞ である。
y[n]－y[n-1]＝2(n-1)＋3
y[n-1]－y[n-2]＝2(n-2)＋3
　　………
ｙ[2]－y[1]＝2・1＋3
両辺同士加えて、
y[n]ーy[1]＝∑[k=1→n](2k＋3)より、y[n]＝y[1]＋∑[k=1→n](2k＋3)
Σ[k=1→n]yk=Σ[k=1→n](k^2＋2k)
よって、
＞ y[n]=n^ア+イn=n^2+2n
＞ Σ[k=1→n]yk=(1/6)n(n+ウ)(エn+オ)=(1/6)n(n+1)(2n+7)　……(2)

＞さらに、数列{zn}を
＞ x1,y1,y2,x1,x2,x3,y1,y2,y3,y4,・・・
＞ とし、この数列{zn}を
＞ x1|y1,y2|x1,x2,x3|y1,y2,y3,y4|・・・
＞ のように、１個、２個、３個、４個、・・・と区画に分ける。すなわち、l=1,2,3,・・・として
＞ 第(2l-1)区画にはx1,x2,x3,・・・,x(2l-1)
＞ の項があり、
＞ 第2l区画にはy1,y2,y3,・・・,y2l
＞ の項があるように区画に分ける。

＞このとき、z199は第カキ区間のク番目の項であるから
＞ z199=ケコ
＞ である。また
＞ Σ[k=200→240]zk=サシスセ
＞ である。
第m区間に、z199があるとすると、第1区間～第m区間までの個数は、
1＋2＋……＋m＝(1/2)m(m＋1)
とりあえず、(1/2)m(m＋1)＝199とおくと、m^2＋m－398＝0
m＞0より、m＝(-1＋3√177)/2　
13^2＝169＜177＜196＝14^2より、13＜√177＜14
38＜-1＋3√177＜41より、19＜m＜20.5
mは整数だから、m＝20より、z199は、第20区間にある。
第19区間の最後の項は、(1/2)・19・20＝190より、ｚ190
だから、第20区間の最初の項は、z191　だから、z199は、その9番目
よって、z199は、第20区間の9番目にある。　……カキ、ク
z199＝y9＝9^2＋2・9＝81＋18＝99　……ケコ

Σ[k=200→240]zk=
第19区間の最後の項は、z190
第20区間の最後の項は、(1/2)・20・21＝210より、z210
第21区間の最後の項は、(1/2)・21・22＝231より、z231
これから、
z200～z210は、第20区間の項で、z200＝y10～ｚ210＝y20
z211～z231は、第21区間の項で、z211＝x1～z231＝x21
z232～z240は、第22区間の項で、z232＝y1～z240＝y9
よって、z200＋……＋z240＝(x1＋……＋x21)＋(y1＋……＋y20)
(1)(2)より、
Σ[k=200→240]zk＝Σ[k=1→21]xk＋Σ[k=1→20]yk
=21(21＋4)＋(1/6)・20・21・(2・20＋7)
＝525＋3290
＝3815　……サシスセ

最初の2問は難しくないので、自分で解いてみてください。

回答No.4

ferien

AN0.3です。済みません。入力ミス。

＞y[n]ーy[1]＝∑[k=1→n-1](2k＋3)より、y[n]＝y[1]＋∑[k=1→n-1](2k＋3)

でお願いします。

回答No.2

noname#181872

#1さんへの補足に対してツッコミを。

> この問題はこれから授業で取り扱う問題の予習です

素晴らしいですね。ただ予習って予習の段階でパーフェクトにする必要はあるの？
もちろん予習の段階でパーフェクトにできたら言うことはないけど、
すべてが理解できなかったとしても、”これからこんなことを授業でやるんだ”
ということがあらかじめ分かることは何も予習（準備）をしないよりも
意味があることです。分からない部分があるのなら、それを今、あわててやるよりも
授業で補えばいいのでは？

> そのため、これから授業で解説するので、今先生に相談することはできません

本当に？予習してきた生徒に対して、これから習う内容の相談だからといって、
相談にのってくれない先生がいたら教師としての資質を疑うなぁ。

それで、このサイトでの数学の質問でよく思うことは、”どれだけあがいたの？”
ということ。特に数列とか確率の分野では、分からなくても分からないなりに
あがける分野だと思います。

たとえば、ア、イを求めるところでは、上のxnと同様にy2やy3をy1から求めて、
そこから類推すれば求めることができますよね。センター試験のような
穴埋め問題なら解き方を書く必要がないのだから、このような解き方でも
問題ありません。
またznのところも、例えばz10はいくつになるの？とかやってみましたか？

もちろん最終的にはスマートな解法も身につけて欲しいけど、普段から
分からない問題に対してあがいてみて頭を耕しておくと、
試験で分からない問題が出たとき役に立ちますよ。

それと、もしもあがいたのであれば、質問文に”こんなことをしたけれど
行き詰まった”などを書いた方が良いかと思います。
質問文だけ書いて、”解き方教えて”では楽していると思われても
しょうがない部分があると思います。

回答No.1

Subaru_Hasegawa

一番上の問題は小学生にでも分かります。
教科書を読んでも理解できなければ、学校の先生に相談しましょう。
ちなみに、ここで場当たり的にカンニングしても、質問者の学力は一切
向上しません。

最後に一つだけ。センター試験は教科書レベルですよ。

補足

この問題はこれから授業で取り扱う問題の予習です
そのため、これから授業で解説するので、今先生に相談することはできません
また、私も１度は問いてみて、教科書でも確認しましたが、解けなかったので質問したわけです（最初の方は一応解けていますが、問題の途中から質問してもわかりにくいと思ったので全部問題を載せています）
解けない問題をそのままにしておくほうが１番学力が伸びないと私は思います