条件x[1]=1,x[n+1]=x[n]+・・・

質問

（１）条件x[1]=1,x[n+1]=x[n]+2^2(n=1,2,3,・・・）によって定められる数列｛xn}の一般項はx[n]=□である。

（２）条件y[1]=4/3, 1/y[n+1]=4/y[n] + 3/4 (n=1,2,3,・・・）によって定められる数列｛ｙｎ｝の

一般項はy[n]=□である。

漸化式の問題です。
よろしくお願いします。

回答No.1

noname#160544 · ベストアンサー

(1)前の項に4足していく数列は等差数列
公式よりx[n]=1+(n-1)*4=4n-3

(2)1/y[n]を数列b[n]と考えると
b[n+1]=4b[n] + 3/4
b[n]、b[n+1]をある定数cと考えると
c=4c+3/4
3c=-3/4
c=-1/4
よってb[n+1]=4b[n] + 3/4は
b[n+1] + 1/4=4(b[n] + 1/4)と書き換えられる
b[n] + 1/4をc[n]という数列と考えると
c[n+1]=4c[n]
等比数列になっている
b[1]は3/4だからc[1]は1
公比は4
よってc[n]=1・4^(n-1)=4^(n-1)
c[n]=b[n] + 1/4だから
b[n] + 1/4=4^(n-1)
b[n]=4^(n-1) - 1/4
b[n]=1/y[n]だから
1/y[n]=4^(n-1) - 1/4=4^n/4 - 1/4=(4^n - 1)/4
y[n]=4/(4^n - 1)

間違ってたら申し訳ない