分数漸化式の成立条件

質問

お世話になります。よろしくお願いします。

ただ今、分数漸化式の成立条件について考えているのですが苦戦しています。

数列のｎ項をX(n)として、
ある分数漸化式を
X(n+1)＝(aX(n)+b)/(cX(n)+d)　（c≠0）・・・・(1)
とします。

この時漸化式(1)が成り立つ初項X(1)の条件あるいは範囲を求めたいのです。
つまり初項X(1)の値によっては漸化式の分母『cX(ｎ)+d』が0になってしまうのでそうならないX(1)の範囲を知りたいのです。

以下途中まで考えた部分です。

cX(n+1)+d＝0とならない条件は
cX(n+1)+d＝ｃ(aX(n)+b)/(cX(n)+d)＋d
＝{c(a+d)X(n)+bc+d^2}/(cX(n)+d)　なので、

c(a+d)X(n)+bc+d^2≠0

a+d＝0、bc+d^2＝0では漸化式が成り立たないので、
cX(n+1)+d＝0とならない条件は
X(n)≠ー(bc+d^2)/{c(a+d)}となることである。・・・(2)

要するに(2)の条件を満たすX(1)の範囲を求めたいのですが、
X(n)の条件をX(1)の条件にうまく結び付けられません。

この後の方針をよろしくお願いします。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

問題の漸化式は、
[X(n+1)] // [ a b ][x(n)]
[　1　]　　　[ c d ][ 1　]
と書けます。２行１列の縦ベクトルと、２行２列の行列です。
// は平行という意味です。
なんで、
[X(n)] // ([ a b ])^(n-1) [x(1)]
[ 1 ]　　 ([ c d ])　　　 [ 1 ]
と書けます。
というわけで、ものすごい直接的な方法として、２行２列行列
A = [a b]
　　[c d]
のn乗
A^n = [a_n b_n]
　　　[c_n d_n]
を求めて、
c_n * X(1) + d(n)
が０にならない条件を求めればいいですかね。

ただ、もうちょっと真面目に考えれば、直接的な方法以外にもっと頭のいい方法があるような気もします。

お礼

ご回答どうもありがとうございます！

分数漸化式をベクトルの平行関係に置き換えて、分母０になる部分をうまく処理するというのはすごい方法ですね。

『分数漸化式の成立条件』は私としてはとても重要なことだと思うのですが、教科書、参考書などにも載ってなくて困っておりました。

とても勉強になりました。

私のやり方だとやはり無理なんでしょうね。

>ただ、もうちょっと真面目に考えれば、直接的な方法以外にもっと頭のいい方法があるような気もします。

もっと良い方法が思い付きましたらそちらも是非教えてください。