log(x-1)の漸化式

質問

log(x-1)の漸化式
テーラー展開して漸化式を作る式がありますよね？

例えば、e^xだとテーラー展開して・・・

y=1+x/+1!+x^2/2!・・・x^n/n!

これを利用して
a(n)=x/k*a(n-1)

となって漸化式が出ます。同様にsinxも考えると
y=x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ・・・(-1)^n-1*x^2n-1/2n-1

これを利用して
a(n)=x^2/2k-1*a(n-1)

となります。（ここまで間違っている部分もあったら、教えてください。）

ですが…log(x-1)はどうやってテーラー展開を考えればいいのか分かりません。

この３つはこの後プログラムでテーラー展開の近似の計算に使うのですが・・・

log(x-1)どうやればできるのかをお願いします。

回答No.4

crouthai · ベストアンサー

>いまいち規則性がないように感じる

本当にそうでしょうか？
6＝2*3ですし、おそらく次は24＝2*3*4かも知れませんね。
符号もなんだか交互のような。

微分係数間には何らかの規則があるものですよ。

お礼

そうですよね…頑張ってもう一度解いてみますね！！

回答No.3

Tacosan

そういえば「テイラー展開」というと「どこを中心にするのか」って話もあるんだけど, どうしましょうかね.
意味がわからなければ「マクローリン展開」と「テイラー展開」の違いについて調べてください.

回答No.2

Tacosan

手を抜いていいなら 1/(1-x) を積分するのが簡単ではある.

お礼

解答ありがとうございます。残念ながら手が抜けませんので…

回答No.1

crouthai

そもそもテイラー展開をご存知でしょうか。
そして、指数関数やsin関数をどうやって展開されたのでしょう。

テイラー展開の(x-a)^nの係数はx=aにおけるn階の微分係数をn!で割ったものです。

したがって、漸化式を求めたいのであればlog(x-1)を微分すればいいのでは？

また、a(n)という表現の中にxが入り込んでいますが、この表現は一般的でないことを注意しておきます。

質問者さま：f(x)=Σa(n)
一般的記法：f(x)=Σa(n)*x^n

お礼

解答のほうをありがとうございます。

微分をしてみました。
y=log(x-1)
y'=1/x-1
y"=-1/(x-1)^2
y"'=2/(x-1)^3
y""=-6/(x-1)^4

といまいち規則性がないように感じるのですよね…

これは漸化式がないのでしょうか？？