漸化式に平方がでてきて求まらない

質問

a_1=1,a_(n+1)=√(a_n+2) , (n≧1)

問い
(1)y=√(x+2), (x≧-2),y=x をグラフに描く
(2)２つのグラフの交点のx座標をαとおく、αの値を求めよ
(3),(1)を用いて、数列a_nをx軸上に記せ
(4)数列a_nは単調増加であることをnに関する帰納法で求め
(5)不等式a_n≦α (n≧1)をｎに関する帰納法で求めよ
(6)数列a_nの極限を求めよ

とあり、１～３までは一応解けたのですが
それ以降があまり自信がありません

１については、そのまま、平行移動の問題
２については、連立してα＝２
３はイマイチわからないのですが、２に収束
４については、a_ｎが常にa_n≦a_(n+1)になっていくように数学的帰納法で示すのですが
　（i）　n=1,2,3のときは成立している
　（ii） n=kのとき、a_(k+1)=√（a_k+2）,が成り立つと仮定すると
　（iii）　n=k+1のとき、a_(k+2)=√｛√（a_k+2）+2｝
　となり、収拾がつかなくなりました。一度iiiで差を取ってみるも、a_(k+1)-a_kとなりだめでした
５については
　（i）　n=1,2のときは成立している　だが、ｎ＝３のとき√（３）+1と２を超えてしまう
　（ii） n=kのとき、a_n≦α(,が成り立つと仮定すると
　（iii）　n=k+1のとき、a_(k+1)≦α（＝2）、とどう式へんけしていけばいいのかわからず
６については、漸化式を求める際、根号が出てきて公費が分からずa_nが求まりません
　特性方程式を解くと２の値が出てくるので、a_(n+1)-2=√{（a_n)-2}
　数列a_n-2は初項-1、公比？
以降が分からずじまい、

数学のできる方教えてください

回答No.4

Tacosan · ベストアンサー

「a_3=√（3）+1となり」のところ, どのように計算したのでしょうか?

ひょっとして
√[(√3)+2] = √3 + 1
とした?

回答No.3

151A48

（4）（5）の帰納法は
(4) a(n)<a(n+1) を仮定。両辺に２をたして　a(n)+2<a(n+1)+2　　平方根をとって
√（a(n)+2)<√(a(n+1)+2)　　　つまり　　　a(n+1)<a(n+2)
(5) a(n)<2 と仮定。両辺に２を足してa(n)+2<4 平方根をとって
√(a(n)+1)<2 つまり　a(n+1)<2

（６）2-a(n)=2-√(a(n-1)+2) ={4-(a(n-1)-2)}/{2+√(a(n-1)+2)}<{2-a(n-1)}/2
これより　2-a(n)<(1/2)^(n-1) ・(2-a(1))=(1/2)^(n-1)
0<2-a(n)<(1/2)^(n-1)
0<lim(2-a(n))<lim{(1/2)^(n-1)} ： limはn→∞
はさみうちの定理よりlim{2-a(n)}=0
∴lim a(n)=2

回答No.2

mister_moonlight

この問題は、設問自体が問題を面倒にしている。

この問題のポイントは設問の(2)。
究極の目的は(6)なんだから、n　→　∞の時　｜a_n　-2｜→　0　を示せば良い。

お礼

お忙しい中ありがとうございます。

補足

漸化式を変形させたところ、a_(n+1)-2=√{（a_n)-2}
からa_nが求まらないためa_nの極限が求まらないのですが
どうのようにすればいいんでしょうか。

回答No.1

Tacosan

(4) は数学的帰納法がおかしい. (ii) のところ, それは「仮定」するものなの? 何を示したいのか, そのために数学的帰納法を使うなら「何を仮定して何を示さなければならないのか」をきちんと書いてみてください.

(5) と (6) は (4) ができればだいたい何とかなる.

あ, (3) の「イマイチわからない」ってのは, 何がどう「イマイチわからない」んでしょうか?

お礼

お忙しい中ありがとうございます。

補足

（４）は数列a_nは単調増加であることをnに関する帰納法
であるから、a_n≦a_(n+1)が成り立つことが証明できれば、単調増加という事がわかる、そのための数学的帰納法。

３は漸化式を解いていくと、a_1＝１、a_2=√３,a_3=√（3）+1となり、収束するはずの２を超えてしまうためです。