漸化式

質問

漸化式

ある漸化式について、解き方はわかるのですが、なぜこのように解くのかと言う疑問が残っています。

a1=1,a(n+1)=2a(n)+n-1

自分の解き方としては、a(n)=b(n)+αn+β

と置くことですが、なぜこのように置くのでしょうか？
わかりにくい質問ですが、もし私の質問内容が理解できる方がいましたら、教えていただけると大変助かります。
よろしくお願いしますｂ

　　　　ｍ（＿　＿）ｍ

回答No.1

OKXavier · ベストアンサー

数列{bn}が等比数列になるように、α、βを設定し、
数列{bn}を求めることに帰着させているものです。

この数列{an}の階差数列をつくることを２回繰り返せ
ば、等比数列が現れます。そこで、{an}を等比数列の
部分{bn}と、等差数列{αn+β}の部分にわけています。

あなたの方法のなかで、αとβを求める手順があるはず
です。このとき、{bn}が等比数列になるよう操作して
いる筈です。

お礼

回答ありがとうございます。

そういう事ですか。なんとなくわかりました！
参考になりました！

回答No.2

Anti-Giants

少しだけ一般化してみる

a(n+1) = A・a(n) + B(n)

a(n) = A^n・b(n)　とおく

b(n) = b(n-1) + A^{-n}B(n-1)

b(n) = Σ[k=2,n] A^{-k}B(k-1) + b(1)

a(n) = A^n・b(n)(Σ A^{-k}B(k-1))

B(n)が等差数列なら、Σの部分は等差数列と等比数列の積の和になる。
その場合、b(n)は、αnA^{-n}+βA^{-n}+γとかける。
a(n) = αn + β + γA^n

一般的な漸化式の解法は、線形代数や微分積分学などの知識が必要。
上記の方法も、微分方程式の解法である「定数変化法」と同様の考え方をしている。

お礼

回答ありがとうございます！！理解できました