分数漸化式で特性方程式が重解を持つ場合の途中計算についてです。

質問

分数漸化式の途中計算で行き詰って困っています。
よろしくお願いします。

分数漸化式
ｘ[n+1]=(a(xn)+b)/(c(xn)+d)において

分数漸化式の特性方程式
k=(ak+b)/(ck+d)
が重解αを持つ時

(ck+d)^2/(ad-bc)＝１

となり
1/（xn-α）が等差数列になる。

みたいなのですが

途中式「(ck+d)^2/(ad-bc)＝１」が証明できずに困っています。

よろしくお願い致します。

回答No.1

0lmn0lmn0 · ベストアンサー

>>(ck+d)^2＝(ad-bc) は、どう使うかは判りません。

＾＾＾＾＾＾＾　　
>> x(n+1)={(a(xn)+b)/(c(xn)+d)}・・・＜１＞

　　　k=(ak+b)/(ck+d)
　　　k(ck+d)=(ak+b)

　　　c(k^2)-(a-d)k-b=0 →(a-d)^2=-4bc・・・＜２＞
　　　4(c^2)(k^2)-4c(a-d)-4bc=0
　　　4(c^2)(k^2)-4c(a-d)+(a-d)^2=0
　　　{ 2ck-(a-d)}^2=0

　　　特性解ｋはk={(a-d)/2c}・・・・・・＜３＞

＜１＞を変形して、

　　　x(n+1)-k={(a(xn)+b)/(c(xn)+d)}-k
　　　x(n+1)-k={(a(xn)+b)-kc(xn)-kd)}/(c(xn)+d)
　　　x(n+1)-k={(a-kc)(xn)-(kd-b)}/(c(xn)+d)

(a-kc)=a-{c(a-d)/2c}
=a-{(a-d)/2}
={2a-a+d}/2
=(a+d)/2・・・＜４＞

(kd-b)={d(a-d)-2bc)}/2c
={ad-(d^2)-2bc)}/2c
　　　　 ={2ad-2(d^2)-4bc)}/4c
　　　　 ={2ad-2(d^2)+(a^2)-2ad+(d^2)}/4c
　　　　 ={(a^2)-(d^2)}/4c
　　　　　　　={(a+d)/2}{(a-d)/2c}・・・＜５＞

　　　　c(xn)+d=c[(xn)-{(a-d)/2c}+{(a-d)/2c}]+d
　　　　　　　　　=c[(xn)-{(a-d)/2c}]+{(a-d)/2}+d
　　　　　　　　　=c[(xn)-{(a-d)/2c}]+{(a+d)/2}

x(n+1)-{(a-d)/2c}
　=[ {(a+d)/2}[(xn)-{(a-d)/2c}] ]/[ c[(xn)-{(a-d)/2c}]+{(a+d)/2}]

　　(xn)-{(a-d)/2c}=(yn)と置き換えて、

y(n+1)={(a+d)/2}(yn)/{ c(yn)+{(a+d)/2} }

特性解と初項は異なるとして、(yn)≠０。また、(a+d)≠０として。

　　　1/{y(n+1)}={2/(a+d)}{ c(yn)+{(a+d)/2} }/(yn)
　　　1/{y(n+1)}={2c/(a+d)}+1/(yn)

お礼

ご丁寧にどうもありがとうございました。
無事に解決いたしました。