x[n+1]=√(3xn-2)

質問

定数(1＜a＜2)に対して、数列{xn}を
x1=a、x[n+1]=√(3xn-2)(n∈N)
で定める
不等式
0＜2-x[n+1]≦3(2-xn)/(2+√(3a-2))
が成り立つことを示しlim[n→∞]xnを求めよ

解き方を教えてください！

回答No.4

sunflower-san · ベストアンサー

回答No.3 です。

一般に全ての数列に使えるような万能の方法はないと思いますが、数列x[n]の極限値がcになる(と予想される)場合に、x[n] - c またはc - x[n] を新たにy[n] とおくと、いずれ0に収束する”極限値からのずれ”をはかる数列 y[n] の方がいくらか考えやすくなるということはしばしばあります。今回の場合、数列の一般項自体は簡単な式で表すことができませんが、どのくらいのスピードで極限値に収束するかといった大まかな挙動を知ることができます。
とりあえず最初に試してみる方法の一つではないでしょうか。

お礼

分かりました
詳しくありがとうございました

回答No.3

sunflower-san

f (x) = √(3 x-2) とおくと、1< x <2のとき、1< f (x) <2 であることに注意します。問題の数列は、初期値 1< x[1] <2 と x[n+1] =f (x[n]) という漸化式によって次々と1より大きく2より小さい範囲の数へと写像されます。もしこの極限値が存在するなら、その値はx = f(x) を満たさなければならないので、x^2 - 3 x +2 =0 の解 x=1または2でないといけないことも分かります。

さて証明をするにあたり、示すべき不等式の形にあわせて y[n]= 2 - x[n] とおきます。
示すべき不等式は、0 < y[n+1] < 3 y[n]/(2+√(3 a-2)) となります。
さて、漸化式
x[n+1]=√(3 x[n]-2)
は両辺を二乗すると
x[n+1]^2=3 x[n]-2　...式(1)
となりますが、y[n]= 2 - x[n] よりx[n] = 2 - y[n]
同様に x[n+1] = 2 - y[n+1]ですので、式(1)に代入すればy[n]とy[n+1]の関係式
(2 - y[n+1])^2=3 (2 - y[n])-2 が得られます。
この式を展開・整理すれば、
y[n+1]^2 - 4 y[n+1] +3 y[n] = 0
となります。
さらにこの式を
3 y[n] = y[n+1](4 - y[n+1])
と変形すると、y[n+1]/y[n] = 3/(4 - y[n+1])　...式(2)
が得られます。

いま、あらゆる n に対して 1< x[n] < 2 だったので、0 < y[n] = 2 - x[n] < 1 となり、従って式(2)の右辺は < 1 となることが分かります。
よって y[n+1]/y[n] < 1 いいかえれば y[n+1] < y[n] ですから
y[n] は単調減少な数列であることが分かります。

したがって 4 - y[n+1] は 3より大きく4より小さい単調増加な数列になり、
式(2)の左辺は
3/(4 - y[n+1]) < 3/(4 - y[n]) < ・・・< 3/(4 - y[2]) = 3/(2+x[2]) = 3/(2+√(3 a -2))
すなわち示すべき不等式
0 < y[n+1] < 3 y[n]/(2+√(3 a-2))
が得られました。

n→∞ での極限値についても、この不等式を使います。
不等式右辺の定数を b = 3 /(2+√(3 a-2)) = 3/(4 - y[2]) とおくと
0 < y[n+1]/y[n] = b より
0 < y[n]/y[n-1] × y[n-1]/y[n-2] ×・・× y[2]/y[1] < b^(n-1)
つまり
0 < y[n]/y[1] < b^(n-1) となるので、
3/4 < b < 1より n→∞のとき 右辺は0に収束します。
よってlim{n→∞} y[n] = 0 (はさみうちの原理)
となります。x[n] = 2 - y[n] ですから
lim{n→∞} x[n] = 2 が求める極限値です。

補足

回答ありがとうございます
この問題ではy[n]= 2 - x[n]と置いていますが、似たような問題でもこのような置き方は通用しますでしょうか？

回答No.2

Tacosan

・x[n+1] を x[n] を使って表す
・√ が入っているので有理化する筋を見る
と不等式は証明できる.

極限は, 帰納法+はさみうち.

補足

回答ありがとうございます
有理化ということは
0＜2-x[n+1]≦3(2-x[n])(2-√(3a-2))/(-3a+4)
ですよね
ここからどうやるのでしょうか？

回答No.1

Tacosan

不等式は自力でなんとかしろ.

極限は定義を思い出せ... っていいたいんだけど, やってる?

補足

自力でやろうとしたのですが分からないので質問させていただいてます
定義というとε-δ論法ですか？すみません、やっていないです