数列(一般項の帰納法による定義)

質問

お世話になっております。
数列の単元で、漸化式から帰納法によって一般項を定める問題例がありますが、これについて少し抽象的な質問をさせて下さい。

例題 次の条件によって定められる数列{An}の一般項を求めよ。 A[1]=2,A[n+1]=An/(1+An) (n=1,2,3,…)

まず、実際に幾つかの値を得て、
A[1]=2, A[2]=2/3, A[3]=2/5,……となるから、
An=2/(2n-1)…(1)　になると「推測」される。帰納法によってこれを証明する。以下略

ここで、質問です。
数列は、まず幾つかの具体的な値から第n項を定めることから学び始めますが、このことと今、第n項が(1)になると「推測」されることとは何が違うのでしょうか。推測だけではだめだから、帰納法で全ての自然数nについて(1)が成り立つことを示すのがこの問題の目的になるのでしょうが、そうなると、全ての数列について帰納法によって証明しなければいけないような気になってくるのですが、どんなものなのでしょう。
また、この問題は漸化式を拠り所に第n項を類推しますが、この例題ならば具体的な値から規則性が簡単に見出せるから良いのですが、パッと見ただけじゃ規則性の見出しにくい数列は、漸化式を解いて得られた第n項について、やはり帰納法によって証明する必要があるという捉えになるのでしょうか。
以上になります。言葉足らずなところがあるかも知れません。また、筋違いな質問でしたらご容赦下さい。宜しくお願い致します。

回答No.4

funoe · ベストアンサー

もしかして見当違いのことを言っていたらごめんなさい。

質問者は、
まず、「幾つかの具体的な値から第n項を推定すること」
次に、「帰納法で全ての自然数nについて・・が成り立つことを示す」
ということは理解していて、実際、漸化式等で示された数列ではこのようなステップを
踏むのに、そうでない問題が多いため違和感を覚えているのではないでしょうか？

具体的には、

「a1=1,a2=3,a3=5,a4=7,a5=9、・・・で与えられる数列の一般項を求めよ」
なんて問題の場合には、一般項　an＝2ｎ-1　を「推定」するだけで、
帰納法による証明を与えていないではないか（怒）、
との疑問なのではないでしょうか？

もしそこが疑問なのだとしたら
「それはもっともな疑問です。高校数学教育の限界です。
　問題が悪いのです。厳密に示すことができないことを出題して済みません」
というのが回答です。

お礼

ご回答ありがとうございます。正にそこが私の疑問になります。
やはり、私の質問が言葉足らずだったようでした。他にご回答下さった皆様にはお詫び申上げます。また、私の拙い文章から意を汲んで下さったご回答者様にはお礼申上げます。

回答No.3

f272

もう，すでに立派な回答があるので，つまらない補足だけ。

A[n+1]=A[n]/(1+A[n])
が与えられたら，
1/A[n+1]=(1+A[n])/A[n]=1/A[n]+1
と変形して，1/A[n]が初項1/2，公差1の等差数列になっていることを確認して
1/A[n]=1/2+(n-1)=(2n-1)/2
A[n]=2/(2n-1)
とするんじゃないのかなあ。

ようするに，等差数列や等比数列のような特殊な形になっていれば，その定義から一般項はわかる。
それ以外の形になるのなら，帰納的にやるしかない。
母関数を使ってやる時も，すでに知っている形に持ち込めばよいけど，そうでないとやっぱり推測して...以下同じとなる。

お礼

ご回答ありがとうございます。
確かに、
数列A1=2,A2=2/3,A3=2/5,A4=2/7,……は等差数列の定義も等比数列の定義も満たしません。しかし、実際には典型的な規則性をもつ数列が与えられて、いざ「この数列の第n項を求めよ」と問われる問題は少ないのではないでしょうか。それは単に入試とかに関して基本から発展になっているだけで、数学本来の目的とは異なる話と思いますが。一見典型的な規則性の無い数列が与えられても、当方の質問にあった例題のように容易に一般化出来るのもありますよね。むしろ帰納的に一般化する問題は、「推測」するのは容易になるように作られている気がします。

漸化式→第n項を推測→帰納的に証明 という流れと
具体的な値の列→第n項を求める
この両者の間にある違いが分かれば良いのですが、この点は、No.1No.2様のご回答である程度ケリがつきました。
しかし、私の一番の疑問は、No.3様のご回答にある通りです。
何か、解ける解けないとは別のところで疑問に感じ、いたずらに閲覧者様を混乱させているようで、すいません。

回答No.2

naniwacchi

#1です。

＞例えば、質問の例題ならば、
＞漸化式にn=1,2,3…の各値から規則性が簡単に得られますよね。
それが「必ず正しい」と言い切れますか？
あくまでも「推測の域」を出ていませんよね。

すごく単純な例ですが、
漸化式：a(1)＝ 1、a(n+1)＝ 2* a(n)の一般項を求めよ。という場合、
n＝ 1, 2, 3と求めてみると、a(1)＝ 1、a(2)＝ 2、a(3)＝ 4となります。

これらから a(n)＝ 2^(n-1)と推測することもできますが、
階差数列として考えてみると a(n)＝ (n^2- n+ 2)/2と推測することもできます。

「じゃあ、a(4)を求めて推測すれば」となりますが、
a(4)でもダメならそうしますか。。。と繰り返していくことになります。

「当たり前」を示すことが一番難しいことではありますが、
あくまでも「推測の域」でしかないことを心してもらえれば。(^^)

お礼

再度のご回答感謝致します。
漸化式にいくつか代入して得られた各値だけでは推測の域を出ないということになる訳ですか。
ご回答によりますと、漸化式についても、一部のnの値が条件を満たすだけでは全ての自然数nについて第n項が成り立つ事は言えない。だから帰納法を使うのだ！みたいな事になるのですかね…

数列は難しい部分もあるのですが、同時に私みたいな数学苦手な者にも面白く思えるのですね。親切なご回答を参考に最低限極められれば、と思います。ありがとうございました。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
数列（漸化式）の問題って、テクニック的な要素が強いですよね。

＞数列は、まず幾つかの具体的な値から第n項を定めることから学び始めますが、
＞このことと今、第n項が(1)になると「推測」されることとは何が違うのでしょうか。
数列を習い始めるときは、「規則性ありき」でその第 n項を求めるところから始まりますよね。
たとえば、「+3ずつ加えていく（等差）」や「2倍ずつしていく（等比）」といった規則性です。

漸化式であれば、a(n+1)＝ a(n)+ 3や a(n+1)＝ 2* a(n)と表されます。
つまり上のような等差数列や等比数列の「定義」を用いて、
漸化式を解いていることになります。

「推測」ではなくて、「定義」になるかと思います。

漸化式を直接変形して「等差」「等比」「階差」の形に変形できれば、
演繹的に一般項を求めることができます。

いまの問題のように直接変形が難しい場合には、「推測」することになります。
規則性が定義されているわけではないので、「こんな規則性だろう」と推測していることになります。

どうしても「漸化式の変形」というテクニックに目がいきがちですが、
少し立ち戻って「どのような形に変形しようとしているのか」がわかれば、
演繹的であることは理解できると思うのですが、どうですか？(^_^;)

お礼

ご回答ありがとうございます。また、いつも当方間の抜けた質問に対応下さりありがとうございます。

う～ん…という感じですね。
漸化式は規則性を表す式とは違うのでしょうか？一応隣合う項の間の規則性を表す関係式として捉えているのですが…
一般項のように任意のn項の値を即座に得られる、ということは漸化式にはないですが。
例えば、質問の例題ならば、漸化式にn=1,2,3…の各値から規則性が簡単に得られますよね。仮に、先にその具体的な値の列から一般項を求めよ、と問われたら、答えは簡単に見出せますよね。つまり、
数列 2,2/3,2/5,2/7,……の第n項Anを求めよ。
と問われたら An=2/(2n-1)になるのは普通です。
これは、帰納法で証明する必要は無いのでしょうか？

何度もすいません。