漸化式から数列の一般項を求める問題で・・

質問

連続した質問で申し訳ありません。
a(1)=1,2a(n+1)=a(n)+2の漸化式によって帰納的に定められた数列の一般項を求めよという問題なのですが・・

n=1 2a(2)=a(1)+2
n=2 2a(3)=a(2)+2
n=3 2a(4)=a(3)+2
・・・・・・・・
n-2 2a(n-1)=a(n-2)+2
n-1 2a(n)=a(n-1)+2
よって
(a(2)+a(3)+a(4)+…a(n-1))+2a(n)=a(1)+2(n-1)
2a(n)=1+2(n-1)-(a(2)+a(3)+a(4)+…a(n-1))
a(n)=(1+2(n-1)-(a(2)+a(3)+a(4)+…a(n-1)))/2
となると思うのですが、

この先、どのようにしたら回答の「2-(1/2)^(n-1)」に行き着くのかが分かりません。

どなたかどうか解説お願いします。

回答No.3

noname#17965 · ベストアンサー

b(n)=a(n)-2
とおくと、
2b(n+1)=b(n)
b(1)=a(1)-2=-1
初項-1、公比２の等比数列になります。
後はいもづるで分かりますね？

ポイントは１行目です。どうやってこれが分かるかというと、

2{a(n+1)+α}=a(n)+α
とおいて、問題の式と同じになるように変形できますね。α=-2となります。この方法さえ分かれば、、、というか覚えておけばＯＫです。何か別な数列におきかえて既知の数列にするのです。

お礼

やっぱり、No.1の方も言われたように特性方程式を知っておく事がキーになるようですね。
分かりやすい説明どうもありがとうございました。

回答No.2

Drunk

n=1 2a(2)=a(1)+2
n=2 2a(3)=a(2)+2
n=3 2a(4)=a(3)+2
・・・・・・・・
n-2 2a(n-1)=a(n-2)+2
n-1 2a(n)=a(n-1)+2
について和をとる際に、a(2),a(3),...,a(n-1)が消えるように、n=2の式は両辺2倍、n=3の式は両辺2^2倍、...、n-1の式は両辺2^(n-2)倍してから、全部足して見ましょう。

お礼

ありがとうございます。
そう言う考え方もあるのですね。
こちらでもやってみようと思います。
どうもありがとうございました。

回答No.1

sunasearch

2a(n+1)=a(n)+2
を
2(a(n+1)-2) = a(n)-2
と変形してから、n=1,2,3...を代入してみましょう。

特性方程式とか習いませんでしたか？
2t = t + 2から
t=2
として、
2(a(n+1)-t) = a(n)-tとするやり方ですが。

お礼

回答ありがとうございます。
特性方程式というものは、知らなかったです。
今後のためにも覚えておこうと思います。
どうもありがとうございました。