• ベストアンサー

数列の一般項

次の条件を満たす数列 { a_n }の一般項を5種類求めたいのです。 数列 { a_n } の条件 : a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 3, a_4 ≠ 4 例えば、 a_(n+2) = a_(n+1) + a_n とおいて、隣接3項間漸化式を解けば、ひとつ求めることができるというアイデアは浮かぶのですが、そのほかにどうすれば求められるでしょうか? ただし、nについて場合分けをするのは無しです。 よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)
回答No.2

1と2から3を作る計算式を考えればいいだけです。 1+2=3 から、 a_(n+2) = a_n + a_(n+1) がでてくるように、 2*1+2-1=3 から、 a_(n+2) = 2 * a_n + a_(n+1) - 1 1+2*2-2=3 から、 a_(n+2) = a_n + 2 * a_(n+1) - 2 1*2+1=3 から、 a_(n+2) = a_n * a_(n+1) + 1 などいろいろあります。

jysuper
質問者

お礼

参考になりました。 ありがとうございます。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

その他の回答 (2)

  • tmpname
  • ベストアンサー率67% (195/287)
回答No.3

そういう事です。 そうすると、条件を満たす数列はいくらでも作れるというのが 分かるでしょう。 ついでに、この際「Lagrange補間」とかについて調べてみると いいでしょう。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。
  • tmpname
  • ベストアンサー率67% (195/287)
回答No.1

例えば、 *xの多項式f(x)で、f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=a  を満たすもののうち、最高次数がもっとも小さいものを求めよ という問題は解りますか?

jysuper
質問者

お礼

参考になりました。 ありがとうございます。

jysuper
質問者

補足

なんとなくわかりました。 f(n) = a*n^3 + b*n^2 + c*n +d f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=5 とかを代入して解けば良いのですね?

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • 数列の一般項を求めたいです。

    以下の漸化式を持つ数列を一般項で表したいです。 簡単に求め方が説明できる場合は求め方についてもお教えいただけますと幸いです。 a(n+1)=2*a(n)+(p*n+q)*2^n そもそも、一般項もとまるのでしょうか?

  • 数列(一般項の帰納法による定義)

    お世話になっております。 数列の単元で、漸化式から帰納法によって一般項を定める問題例がありますが、これについて少し抽象的な質問をさせて下さい。 例題 次の条件によって定められる数列{An}の一般項を求めよ。 A[1]=2,A[n+1]=An/(1+An) (n=1,2,3,…) まず、実際に幾つかの値を得て、 A[1]=2, A[2]=2/3, A[3]=2/5,……となるから、 An=2/(2n-1)…(1) になると「推測」される。帰納法によってこれを証明する。以下略 ここで、質問です。 数列は、まず幾つかの具体的な値から第n項を定めることから学び始めますが、このことと今、第n項が(1)になると「推測」されることとは何が違うのでしょうか。推測だけではだめだから、帰納法で全ての自然数nについて(1)が成り立つことを示すのがこの問題の目的になるのでしょうが、そうなると、全ての数列について帰納法によって証明しなければいけないような気になってくるのですが、どんなものなのでしょう。 また、この問題は漸化式を拠り所に第n項を類推しますが、この例題ならば具体的な値から規則性が簡単に見出せるから良いのですが、パッと見ただけじゃ規則性の見出しにくい数列は、漸化式を解いて得られた第n項について、やはり帰納法によって証明する必要があるという捉えになるのでしょうか。 以上になります。言葉足らずなところがあるかも知れません。また、筋違いな質問でしたらご容赦下さい。宜しくお願い致します。

  • 数列の一般項の求め方

    ひさしぶりの数学なので感が鈍ってます…。 下記数列の一般項の求め方を教えてください。 a(1)=1 , a(n+1) =a(n)/{2a(n)+3} (n= 1,2,…)で定義される数列a(n)の一般項を求める。 ()内は添え字です。 とっかかりがわかりません…。 よろしくおねがいします。

  • 漸化式がa_n+1 = √(pa_n + q )となる数列の一般項

    a_n+1 = √(pa_n + q ) (但しp,qは実数でp≠0、q≠0) このような漸化式の数列a_nの一般項を求めてみたいのですが、 (p,q) = (1,2)の場合については一般項が求まりましたが、 それ以外の場合の一般項が求められません。 このような形の漸化式からa_nの一般項を求める方法はあるのでしょうか?

  • 数列の一般項

    一般に、数列{F_n}がk項間の漸化式と、F_0、F_1、・・・、F_(k-1) の初期値が与たとき、  1、一般項は存在するのでしょうか(表現できなくても構いません)  2、一般項は一つでしょうか 2は2つの一般項F_n、G_nが存在したとすると、F_k=G_k が示せて、以下帰納的に一致するので、一つだと思いますが・・・。 1についてよろしくお願いします。

  • Nフィボナッチ数列の一般項について

    つぎのようにNフィボナッチ数列を定義します。ただしNは自然数。 F(1)=F (2)=...=F(N)=1 F(N+n)=F(N)+F(N+1)+...F(N+n-1) (n≧0)-(1) またx^N=Σ[k=0~N-1]x^kのN次方程式のN個の解をA1,A2、...ANと名付けます。 N=2のとき フィボナッチ数列になりますが、 (1)を変形してF(n+2)=(A1+A2)F(n+1)-A1A2F(n) よって F(n+2)-A2F(n+1)=A1{F(n+1)-A2F(n)} F(n+2)-A1F(n+1)=A2{F(n+1)-A1F(n)} 2つの漸化式ができて、ともに右辺を等比数列の和として計算できますので 2つを連立して、F(n+1)について解くと一般項が得られます。 N=3のときも同様にして、一般項が求まります。 そこでNが任意の自然数でもこれは成り立つのでしょうか? 解と係数の関係からN個の連立方程式が導けるとしてもよいのでしょうか? どなたか教えてください。お願いします。

  • 数列です

    漸化式 a1=1, an+1=2an+2^n (n=1,2,3,……)で 定められる数列{an}がある。 (1) bn=an/2^n とおく。 数列{bn}の満たす漸化式を求めよ。 (2) 数列{an}の一般項を求めよ。 ↓の写真は(1)を解いてる途中です。 この先で困っています。 できる方は教えてくださると嬉しいです。

  • だれか隣接3項間漸化式について教えてください。

    中年男性です。いま数列の勉強をしています。「なるほど高校数学 数列の物語」という読本を 読んでいるのですが、手に負えないので質問させてもらいました。  漸化式  A1=2, A2=3, An+2=5An+1-6An    n>=1 ・・・(1)  を満たす数列が特性方程式X^2=5X-6の解 X=2、X=3 から 2^n-1 と3^n-1に なることは実際に確かめて確認して納得したのですが、続くくだりから判らなくなって しまいました。  そのくだりとは“そこで次に問題となるのが、上記のような等比数列以外にこの  漸化式を満たす数列があるのか、ということです。  結論からいうと、特性方程式が異なる2つの解をもつときは、特性方程式の解を  公比とする等比数列の組み合わせを考えるだけで十分です。このことは次の  ようにして判ります・・・” と書いてあり特性方程式の解以外にないことの証明が始まるものと期待して読み進めたの ですが、漸化式の変形が始まり結局    An+1-2An=(A2-2A1)3^n-1    n>=1  ・・・(2)    An+1-3An=(A2-3A1)2^n-1    n>=1  ・・・(3)  という式になり、(2)式から(3)式を引くことで、    An=(A2-2A1)3^n-1-(A2-3A1)2^n-1     n>=1  となり、条件A1=2、A2=3を代入して一般項は    An=-1×3^n-1+3×2^n-1     n>=1 ・・・(4)  となりました。  これで特性方程式の解から導かれる数列以外に解がないことの  証明になるのでしょうか。また数列2^n-1や数列3^n-1が漸化式を  満たすことはすでにnに1、2、3・・・と代入して確認したのですが  一般項が(4)式であるということはどういうことなのでしょうか。  (4)式にnに1、2、3・・・と代入して確認していませんが(成立するのでしょうが)  このあたりの事情がよく判りません。  どなたか解説して戴けないでしょうか。

  • 数列の一般項を求める問題。

    次の問題の解き方が分からなくて困っています。 数列AnをA1=50, (n+1)An=(n-1)A(n-1)(n=2,3,4・・・)で定める。 このとき一般項Anを求めよ。 答えは100/n(n+1)です。 どなたか分かりやすい解説よろしくお願いします。

  • の漸化式で定義される数列{an}の・・・

    次の漸化式で定義される数列{an}の一般項を求めよ。 (1)a[1]=2, a[n+1]=a[n]-3 (n=1,2,3,・・・) (2)a[1]=1, a[n+1]=5a[n] (n=1,2,3,...) よろしくお願いします!

このQ&Aのポイント
  • Blu-ray再生時に表示される「Error NO:TDEV044 現在の外部出力設定での再生はサポートされていません」というエラーメッセージについて、対処方法をご教示ください。
  • Blu-ray再生時に「Error NO:TDEV044」というエラーが表示されて再生できない場合、アプリケーション終了後にwin+pキーで出力先を変更することで再生できる可能性があります。
  • ソースネクスト株式会社の製品・サービスを使用している際にBlu-ray再生ができなくなり、「Error NO:TDEV044」というエラーが表示された場合は、アプリケーション終了後にwin+pキーで出力先を変更することで解決することがあります。
回答を見る