• ベストアンサー
  • 困ってます

群数列っぽい問題

添付の図のように自然数が1,2,3.... を1を中心に反時計回りに渦巻状に並べる。 x1=2 x2=12 x3=30・・・ のように2を先頭に右斜め上に続く数列を{xn} Y1=6、y2=20、Y3=42・・・のように 6を先頭に右斜め下に続く数列を{Yn}とするとき、 {xn}{Yn}を求めよ。 という問題で、解答では、 1からXnは横2n縦2n-1の長方形内にあるので Yn=2n(2n+1) 同様に1からYnは横2n+1、縦2nの長方形内にあるので Yn=2n(2n+1) という解説だったんですが、何をしているのかまったくわかりません。 なぜ、長方形を利用しているのか、「1からXnは横2n縦2n-1の長方形内にあるので」 「同様に1からYnは横2n+1、縦2nの長方形内にあるので」はどこからきたのか まったくちんぷんかんぶんです。この解答は何をしているのでしょう? ヒントで、 正方形状に区切りを入れて 1|2,3,4,5,6,7,8,9|10,11・・・・・25| という群数列を考えるとよい みたいなことが書いてあったのですが、これがどう関係しているのかも まったくわかりません。。。。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3

別の解法。 渦巻きを「1個、1個、2個、2個、3個、3個…」で区切ってみよう。 |1|2|3、4|5、6|7、8、9|10、11、12|… になりますね。 で、区切った中の数字の個数(図の四角の中の個数)を考えます。 Xnについては、以下のようになります。 X1は2。1個+1個=2個 X2は12。1個+1個+2個+2個+3個+3個=12個 X3は30。1個+1個+2個+2個+3個+3個+4個+4個+5個+5個=30個 これは、以下のようになります。 X1は2。(1個)×2=2個 X2は12。(1個+2個+3個)×2=12個 X3は30。(1個+2個+3個+4個+5個)×2=30個 これは、初項が1、交差が1、項数が(2n-1)の数列の和の2倍です。 等差数列の和の公式を当てはめてみましょう。 http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/suuretu/tousasum/tousasum.htm 初項は1、交差は1、項数は(2n-1)です。公式に当てはめると Xn=((2n-1)/2)×(2×1+((2n-1-1)×1)×2 =(2n-1)×(2×1+((2n-1-1)×1) =(2n-1)×(2+2n-2)) =(2n-1)×(2n) =2n(2n-1) Ynについては、以下のようになります。 Y1は6。1個+1個+2個+2個=6個 Y2は20。1個+1個+2個+2個+3個+3個+4個+4個=20個 Y3は42。1個+1個+2個+2個+3個+3個+4個+4個+5個+5個+6個+6個=42個 これは、以下のようになります。 Y1は6。(1個+2個)×2=6個 Y2は20。(1個+2個+3個+4個)×2=20個 Y3は42。(1個+2個+3個+4個+5個+6個)×2=42個 同様の方法で Yn=2n(2n+1) になります。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

おお!!こんな解法もあるんですね。 すごい。。。頭がいい上に解説も丁寧にできるなんて 本当にすごいです。 直接お礼をいいたいぐらい感謝しております。 私の質問に答えてくれて本当にありがとうございました。

その他の回答 (2)

  • 回答No.2

訂正。赤○付ける場所間違いました。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

わざわざ訂正ありがとうございました。

  • 回答No.1

赤い四角は、横が「2n」で、縦が「2n-1」になっている。 四角の中にある数字の個数は「縦×横」なので「2n(2n-1)個」になる。 四角の中にある数字の個数が「求めたいXnそのもの」になる。 従って「Xn=2n(2n-1)」になる。 青い四角は、横が「2n」で、縦が「2n+1」になっている。 四角の中にある数字の個数は「縦×横」なので「2n(2n+1)」になる。 四角の中にある数字の個数が「求めたいYnそのもの」になる。 従って「Yn=2n(2n+1)」になる。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

わ~ぁぁぁ!!すっごく分かりやすい説明ありがとうございます。 やっと理解できましたよ。 簡潔でありながら、つぼを押さえた説明に脱帽です。 本当にありがとうございました。

関連するQ&A

  • 数学B 数列 センター向けの問題です

    数列{xn}は x1=5,x(n+1)=xn+2 (n=1,2,3,・・・) で定義された数列である。 x2=7,x3=9 であり、 xn=2n+3 である。 次に、数列{yn}は y1=3,y(n+1)=yn+2n+3 (n=1,2,3,・・・) で定義された数列である。このとき yn=n^ア+イn Σ[k=1→n]yk=(1/6)n(n+ウ)(エn+オ) である。 さらに、数列{zn}を x1,y1,y2,x1,x2,x3,y1,y2,y3,y4,・・・ とし、この数列{zn}を x1|y1,y2|x1,x2,x3|y1,y2,y3,y4|・・・ のように、1個、2個、3個、4個、・・・と区画に分ける。すなわち、l=1,2,3,・・・として 第(2l-1)区画にはx1,x2,x3,・・・,x(2l-1) の項があり、 第2l区画にはy1,y2,y3,・・・,y2l の項があるように区画に分ける。 このとき、z199は第カキ区間のク番目の項であるから z199=ケコ である。また Σ[k=200→240]zk=サシスセ である。 解答 n^ア+イn=n^2+2n (1/6)n(n+ウ)(エn+オ)=(1/6)n(n+1)(2n+7) カキ=20 ク=9 ケコ=99 サシスセ=3815 この問題の解き方がわかりません 解き方を教えて下さい よろしくお願いします

  • 代数学の問題を教えて下さい。

    この問題が分かりません。お願いいたします。 行列A= (0 2 -1) (1 1 -1) (-2 2 1) とする。 X=1,Y0=0,Z0=0である。n>=0で漸化式 X(n+1)=2Yn-Zn Y(n+1)=Xn+Yn-Zn Z(n+1)=-2Xn+2Yn+Zn を満たす数列{Xn}{Yn}{Zn}を考える(n>=0)。このとき 一般項Xn,Yn.Znを求めなさい という問題です。どうかお願いいたします。

  • 代数学☆イデアルの問題!!

    次の問題について教えてください!! N:自然数 R:環 L,M:左イデアル LM={x1・y1+x2・y2+・・・+xn・yn |         xi∈L,yi∈M (i=1,2,・・・,n),n∈N} LMがイデアルであることを示せ。 左イデアルであることは示せたんですが、右イデアルであることが示せません。 右イデアルを示すために a∈LM,r∈Rに対して a=x1・y1+x2・y2+・・・+xn・yn (xi∈L,yi∈M) とおくと、 a・r=(x1・y1+x2・y2+・・・+xn・yn)・r    =(x1・y1)・r+(x2・y2)・r+・・・+(xn・yn)・r    =x1・(y1・r)+x2・(y2・r)+・・・+xn・(yn・r) になって、 a・r∈LMを示すのにyi・r∈Mを示すのかな、と思ったのですが、 どう示すのか分りません。  やり方自体間違っているのでしょうか、それともyi・r∈Mを示す方法があるのでしょうか。教えてください!!

  • 条件x[1]=1,x[n+1]=x[n]+・・・

    (1)条件x[1]=1,x[n+1]=x[n]+2^2(n=1,2,3,・・・)によって定められる数列{xn}の一般項はx[n]=□である。 (2)条件y[1]=4/3, 1/y[n+1]=4/y[n] + 3/4 (n=1,2,3,・・・)によって定められる数列{yn}の 一般項はy[n]=□である。 漸化式の問題です。 よろしくお願いします。

  • 数列の問題です

    1、次の数列の第30項を求めよ。 140、136、130、122、112・・・ 2、次の領域内にある格子点の数を求めよ。 (1) X≦0、Y≦0、X+Y≧3n (2) X≦0、Y≦0、X+4Y≧8n この三題がわかりません。教えてください。

  • 格子点の問題

    nを正の整数とする。xy平面において直線x-3y=0とx+3y=6nとx軸で囲まれてできる領域(境界を含む)に含まれる格子点の数を求めよ この問題を数列ではなく縦1/2n,横3nの長方形の格子点を考えて、そこから余分な分を引いて領域内の格子点の数を求めたいのですが、どのように求めればいいのでしょうか? 直線上の格子点の求め方と考え方を詳しく解説していただけると嬉しいです。

  • 論理回路

    2n変数論理関数 fn(x1,x2,...,xn,y1,y2,...,yn)={ 1 N(x1,x2,...,xn)>N(y1,y2,...,yn)の時                 0 その以外 について、以下の問に答えよ。ここで、Nは入力を2進数とみなしたときの数を値として持つ関数であり、N(x1,x2,...,xn)=Σ(i=1~n)xi2^n-iと表すことができる。 問 任意のn>=2に対して     fn(x1,x2,...,xn,y1,y2,...,yn)= x1・y1(bar) + (x1+y1(bar))・fn-1(x2,...,xn,y2,...yn) が成り立つことを示せ。ただし、(bar)が論理否定、・が論理積、+は論理和を表す という問なのですが、どのように証明をすればよいのでしょうか? お願いします。

  • 数学の大学入試問題の解き方

    Oを原点とする座標平面上の点Pn(Xn,Yn)(n=1,2,3,••••)は次のように帰納的に定義されている。 X1=1 Y1=√5 Xn+1=1/6(4Xn-√2Yn) Yn+1=1/6(√2Xn+4Yn) (n=1,2,3••••) また線分OPnの長さをpn, ∠PnOPn+1=θn 線分PnPn+1の長さをLnとする すべての自然数nについて pn+1=アpn cosθn=イ Ln=ウpn このア,イ,ウについて解く時に行列を用いずに解く方法はありますか? ありましたら長くなっても構いませんので詳しく解答をしていただけるとありがたいです

  • 数学III 数列

    数学III f(x)=2x+3/x+2 で、{xn}は、x(1)=1 、 x(n+1)=5x(n)-12/4x(n)-9 (n=1,2,3・・・)で定まる数列とする。 (1)関数y=f(x)の逆関数y=g(x)を求めよ。 (2)y(n)=g[x(n)]とおくとき、数列{y(n)} の一般校を求めよ。 (1)は g(x)=3-2x/x-2 です。 (2)なんですが、問題の流れ的に(1)を使うのかと考え p(n)=3-2x(n)/x(n)-2 とおいてやって、変形してみたら運よくその形が出てきたので、置き換えがうまくいって解けました。 しかし、適当にやってみたらできたというだけなので納得できません。 極限の分野で、例えば、a(n+1)=3-2a(n)/a(n)-2 から、ば数列{an}を求めよ。 という問題のときは、「b(n)=~とおく」というヒントが書いてありました。 なので、そのようにして解けていたのですが、この問題の場合、なぜ(1)が置き換えに利用できるのかが分かりません。 そのあたりのことについて説明お願いします。

  • この問題解いて下さいm(_ _)m

    3以上の自然数nに対して、 Xn+Yn=Znを 満たすような自然数 X、Y、Zは存在しない、 これを証明せよ!! (天才数学者が、8年かかった問題) よろしくお願いします!