• 締切済み
  • すぐに回答を!

不等式の問題

x1>x2>・・・・>xn y1>y2>・・・・>yn という関係のある実数がある。 yの並べ替えたものをz1、z2・・・・znとする。 Σ(k=1~n)xk・yk≧Σ(k=1~n)xk・zk となることを証明せよ。 という問題がありました。 どうやって解けばよいでしょうか?結構いろいろな解法があるようですが、わかりません。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

みんなの回答

  • 回答No.4
  • hesaid
  • ベストアンサー率39% (51/130)

NO.3です。数直線2本並べて以下のように論証することもできそうです。 積和が最大値を得るときのxiのペアをyj(i,j=1,2…,n、i≠j)と仮定する。 xiとyjのペアを線で結ぶ。 少なくとも1つ、この線を跨ぐ線で結ばれるペアが存在が存在する。これらをxp,yq(p,q=1,2…,n、p≠i、q≠j)とする。 ペアを入れ替えると、xi・yj + xp・yq < xi・yq + xp・yj となり、当初のペア時に積和が最大値を得ることに矛盾。 よって、i=jであることが必要。 <以下略>

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.3
  • hesaid
  • ベストアンサー率39% (51/130)

大筋だけ。。。 まず、x1,x2…,xnを数直線上に並べる。 その真下に、y1,y2…,ynを数直線上に並べる。 x1の積のペアをyi(i≠1)、y1の積のペアをxj(j≠1)とした場合、 x1・yi + xj・y1 < x1・y1 + xj・yi(理由はNO.2様の回答ご参照。ペア同士を線で結んだとき、クロスしているものがあれば、ペアを入れ替えることにより積和は大きくなるということ。) このことから、xとyの積和が最大値を得る為には、x1との積のペアはy1であることが必要であることがわかる。 同様の議論を繰り返していくことにより、 x2のペアはy2、x3のペアはy3…、xnのペアはynであることを要す。…1) ここで、xとyの積のペアはn!通りと有限であるから、その中から最大値が存在することは明らか。…2) 1)2)の考察から、 Σ(xk・zk)の最大値は、Σ(xk・yk)に他ならない。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2
  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)

Z=Σ(k=1~n)xk・zk ただし、x1>x2>・・・・>xn、zp<zq (p<q) zpとzqを交換したzkをykとする。 つまり、yp=zq、yq=zp、yk=zk (k≠p,q) Y=Σ(k=1~n)xk・yk とすると、 Y-Z=Σ(k=1~n)xk(yk-zk)   =xp(yp-zp)+xq(yq-zq)   =xp(zq-zp)+xq(zp-zq)   =(xp-xq)(zq-zp)>0 これから言えることは、zp<zq (p<q)のとき、この2つを交換すると、Z=Σ(k=1~n)xk・zkは大きくなる。 zp<zq(p<q)となる2つ要素を交換していくと、最終的にはzkは降順にソートされることになる。 よって、Σ(k=1~n)xk・yk は y1>y2>・・・・>yn のとき、ykを任意に並べ替えたものの中で最大になる。 こんな証明ではだめでしょうか。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1

1987年の東大、理科前期大問5と同じ問題です。 一見問題は違いますが、両辺の2乗を展開し、Σyk^2=Σzk^2ですので同じ問題です。 数学的帰納法で示します。 (1)n=2のとき、 (ア)y_1=z_1,y_2=z_2のときは明らか。 (イ)y_1=z_2,y_2=z_1のとき Σ(k=1~2)x_k・y_k-Σ(k=1~2)x_k・z_k=(x_1-x_2)(y_1-y_2)≧0 (2)n=iのとき成り立つと仮定する。 (a)y_(i+1)=z_(i+1)のとき 省略 よってn=i+1のときも成り立つ。 (b)z_m=y_(i+1) (m≠i+1)のとき Σ(k=1~i+1)x_k・z_k = x_1z_1 + … + x_mz_m + … + x_iz_i + x_(i+1)z_(i+1) =x_1z_1 + … + x_mz_(i+1) + … + x_iz_i + x_(i+1)z_(i+1) - x_mz_(i+1) + x_mz_m (前半のx_1z_1+…+x_mz_(i+1)+…x_iz_iに現れるzはyの1~iに対応している) ≦Σ(k=1~i)x_k・y_k + x_(i+1)z_(i+1) - x_mz_(i+1) + x_mz_m ≦Σ(k=1~i)x_k・y_k + x_(i+1)y_(i+1) - x_(i+1)y_(i+1) + x_(i+1)z_(i+1) - x_mz_(i+1) + x_mz_m ≦Σ(k=1~i+1)x_k・y_k - x_(i+1)y_(i+1) + x_(i+1)z_(i+1) - x_mz_(i+1) + x_mz_m ≦Σ(k=1~i+1)x_k・y_k - x_(i+1)z_m + x_(i+1)z_(i+1) - x_mz_(i+1) + x_mz_(i+1) ≦Σ(k=1~i+1)x_k・y_k + (x_m - x_(i+1))・(z_m - z_(i+1)) ≦Σ(k=1~i+1)x_k・y_k よってn=i+1のときも成り立つ

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 数学B 数列 センター向けの問題です

    数列{xn}は x1=5,x(n+1)=xn+2 (n=1,2,3,・・・) で定義された数列である。 x2=7,x3=9 であり、 xn=2n+3 である。 次に、数列{yn}は y1=3,y(n+1)=yn+2n+3 (n=1,2,3,・・・) で定義された数列である。このとき yn=n^ア+イn Σ[k=1→n]yk=(1/6)n(n+ウ)(エn+オ) である。 さらに、数列{zn}を x1,y1,y2,x1,x2,x3,y1,y2,y3,y4,・・・ とし、この数列{zn}を x1|y1,y2|x1,x2,x3|y1,y2,y3,y4|・・・ のように、1個、2個、3個、4個、・・・と区画に分ける。すなわち、l=1,2,3,・・・として 第(2l-1)区画にはx1,x2,x3,・・・,x(2l-1) の項があり、 第2l区画にはy1,y2,y3,・・・,y2l の項があるように区画に分ける。 このとき、z199は第カキ区間のク番目の項であるから z199=ケコ である。また Σ[k=200→240]zk=サシスセ である。 解答 n^ア+イn=n^2+2n (1/6)n(n+ウ)(エn+オ)=(1/6)n(n+1)(2n+7) カキ=20 ク=9 ケコ=99 サシスセ=3815 この問題の解き方がわかりません 解き方を教えて下さい よろしくお願いします

  • 代数学の問題を教えて下さい。

    この問題が分かりません。お願いいたします。 行列A= (0 2 -1) (1 1 -1) (-2 2 1) とする。 X=1,Y0=0,Z0=0である。n>=0で漸化式 X(n+1)=2Yn-Zn Y(n+1)=Xn+Yn-Zn Z(n+1)=-2Xn+2Yn+Zn を満たす数列{Xn}{Yn}{Zn}を考える(n>=0)。このとき 一般項Xn,Yn.Znを求めなさい という問題です。どうかお願いいたします。

  • mathematicaでリストの格納

    mathematicaでTable関数で作成したリスト {{x1, y1, z1, f(x1,y1,z1)}, {x2, y2, z2, f(x2,y2,z2)}, ... , {xn, yn, zn, f(xn,yn,zn)}} 中のx1~xnまでの各成分とy1~ynまで(、z1~znまで、 f(x1,y1,z1)~f(xn, yn, zn)までの各成分)をそれぞれ配列に格納するにはどうすればいいのでしょうか?(C言語のようにループ文で配列に格納することはできないのでしょうか?) もしくは、行列中で列の成分を取り出すことはできますか? どなたか解法を示していただければ幸いです。

  • この問題解いて下さいm(_ _)m

    3以上の自然数nに対して、 Xn+Yn=Znを 満たすような自然数 X、Y、Zは存在しない、 これを証明せよ!! (天才数学者が、8年かかった問題) よろしくお願いします!

  • 比例式の値の問題が解けないいんです。

    (y+z)/x=(z+7x)/y=(x-y)/z=kのとき、kのとり得る値を求めよ。 って問題です。 y+z=xk …(1) z+7x=yk …(2) x-y=zk …(3) に変形して、(1)+(3)で (x+z)=(x+z)k (x+z)(1-K)=0 ∴x+z=0 or 1-k=0 まで分かったんですが、この先がどうしていいか分かりません。 ちなみに答えは、-3と1と2だそうです。

  • 比例式の問題で

    * /・・・は分数の分母と分子の間の線です 比例式の問題で ・y+z/x=z+x/y=x+y/zのとき、この式の値と、そのときの実数x、y、zの条件を求めよ 解答 y+z/x=z+x/y=x+y/z=kとおく y+z=xk・・・(1) z+x=yk・・・(2) x+y=zk・・・(3) (1)+(2)+(3)から 2(x+y+z)=(x+y+z)k よって (k-2)(x+y+z)=0 ゆえに K=2またはx+y+z=0 [1] K=2のとき  (1)、(2)から y+z=2x z+x=2y よって、z=2x-y=2yーxから x=y=z ・・・・・・・・と続くのですが   z=2x-y=2yーxから x=y=zとなることがよくわからないのですが、なぜなのでしょうか?

  • 論理回路

    2n変数論理関数 fn(x1,x2,...,xn,y1,y2,...,yn)={ 1 N(x1,x2,...,xn)>N(y1,y2,...,yn)の時                 0 その以外 について、以下の問に答えよ。ここで、Nは入力を2進数とみなしたときの数を値として持つ関数であり、N(x1,x2,...,xn)=Σ(i=1~n)xi2^n-iと表すことができる。 問 任意のn>=2に対して     fn(x1,x2,...,xn,y1,y2,...,yn)= x1・y1(bar) + (x1+y1(bar))・fn-1(x2,...,xn,y2,...yn) が成り立つことを示せ。ただし、(bar)が論理否定、・が論理積、+は論理和を表す という問なのですが、どのように証明をすればよいのでしょうか? お願いします。

  • 以下の不等式の証明を少し頭使いながらやってみました。

    以下の不等式の証明を少し頭使いながらやってみました。 n,kを正の整数、x1,x2,・・・・,xnを正の実数とする。このとき  x1^k+x2^k+・・・・+xn^k≧((x1+・・・+xn)^k)/n^(k-1) ・・・・・(#) が成立することを示せ。 (説明)普通は数学的帰納法で示す(模範回答で確認済み)が、ここでは少し見方を変えて示す。 まずk=1のとき (#)の右辺,左辺ともにx1+・・・・+xnで等号成立する。 以降k≧2とする。 まずx1=・・・・・=xn=aのとき (#)の右辺,左辺ともにna^kで等号成立する。 次に0<x1<x2≦x3≦・・・・・≦xnとする。 (#)の両辺に1/nをかけて   (x1^k+x2^k+・・・・+xn^k)/n≧((x1+・・・+xn)/n)^k ・・・・・(##) を示す。 ここでx1,・・・,xnの平均xa=(x1+・・・+xn)/nとし、区間[x1,xn]内で任意にx2,x3,・・・ ・,x(n-1)を(x1,xnを先に定めて)プロットする。そして f(x)=x^k (k≧2)について考える。またx1<xa≦xnである。 g(x)を(xa,f(xa))についての接線の方程式とすれば f(xa)=(g(x1)+g(x2)+・・・・・+g(xn))/n である。 さらにf(x)は区間[x1,xn]において下に凸だから f(x1)>g(x1),f(x2)≧g(x2),・・・,f(xn)≧g(xn) が成り立つ。 したがって (f(x1)+・・・・+f(xn))/n >(g(x1)+g(x2)+・・・・・+g(xn))/n=f(xa) となる。 よってxa=(x1+・・・+xn)/n ,f(x)=x^k から (##)が言えて、(#)が以上から成り立つことが言えた。 模範解答にもこの方法は載っておらず、独自で思いついて示しました。この証明方法でも良いですか? ここのポイントはy=f(x)=x^kと(xa,f(xa))についての接線の方程式を考えればうまく応用できるというところです。問題は間違っていないかどうかですが自分でも面白く感動しました。

  • 至急!確率

    サイコロをn回続けて投げるとき、k回目に出る目の数をXkとし Yn=X1+X2+・・・+Xnとする。Ynが7で割り切れる確率をPnとする。 (1)PnをPn-1を用いて表せ。 (2)Pnを求めよ。 (1)の解説の冒頭で 「Yn=Yn-1+Xn・・・(1)」とあるんですけど なにをしているのかわかりません。 Yn-1がなんでいきなりでてくるのか・・・ 誰か教えてください。お願いします><;

  • 微積分の証明問題についての質問です。

    微積分の証明問題についての質問です。 xの2乗をx^{2}のように表しています。 f:R^{n} → R , p∈R とする。 fが微分可能のとき、次の(1),(2)が同値であることを示せ。 (1)任意のα>0 と(x1,x2,…,xn)∈R^{n} に対して、 f(αx1,αx2,…,αxn) = α^{p}f(x1,x2,…,xn) …(※) (2)任意の(x1,x2,…,xn)∈R^{n}に対して、 Σ[k=1,n]xk{∂f(x1,x2,…,xn)/∂xk} = pf(x1,x2,…,xn) …(♯) ヒントとして、 ・(1)⇒(2) (※)の両辺をαで微分して、α=1とおく。 ・(2)⇒(1) F(x1,x2,…,xn,α) := α^{-p}f(αx1,αx2,…,αxn) を考えて、 ∂F(x1,x2,…,xn,α)/∂α = 0 を示せ。 が与えられています。アドバイスお願いします。