【数列の応用】

質問

座標平面上の点（a、b)でaとbのどちらも整数となるものを交子点と呼ぶ。
ｙ=3x^2-6xで表される放物線をCとする。
ｎを自然数とし、C上の点P(ｎ、3ｎ^2-6ｎ)をとる。原点をO(0,0)とする。
Cと線分OPで囲まれる図形をDとする。
ただし、Dは境界を含むとする。
0≦k≦ｎを満たす整数kに対して、直線y=k上にありDに含まれる交子点の個数をｆ(k)とする。

(1)ｆ(k)を求めよ。

(2)Dに含まれる交子点の個数を求めよ。

(3)ｆ(k)が最大になるようなｋを求めよ。

答え
(1)ｆ（ｋ）=-3k^2+3ｎk+1

(2)1/2(n+1)(n^2-n+2)

(3)ｎが偶数の時、k=ｎ/2
ｎが奇数の時、k=ｎ±1/2

いろいろな分野の内容が入ってるみたいで、
どう解き始めたらよいかさっぱりです。
解ける方がいらっしゃいましたら、
解説お願いしますm(__)m

回答No.1

ferien · ベストアンサー

座標平面上の点（a、b)でaとbのどちらも整数となるものを交子点と呼ぶ。
ｙ=3x^2-6xで表される放物線をCとする。
ｎを自然数とし、C上の点P(ｎ、3ｎ^2-6ｎ)をとる。原点をO(0,0)とする。
Cと線分OPで囲まれる図形をDとする。
ただし、Dは境界を含むとする。
＞0≦k≦ｎを満たす整数kに対して、直線y=k上にありDに含まれる交子点の個数をｆ(k)とする。
ｘ＝ｋとすると答えと合うので、これで考えます。
ｙ＝３ｘ^2－６ｘ
＝３（ｘ^2－２ｘ＋１）－３
＝３（ｘ－１）^2－３より、
ｘ＝１のとき、放物線Ｃの最小値－３

＞(1)ｆ(k)を求めよ。
直線ＯＰの傾き＝（３ｎ^2－６ｎ）／ｎ＝３（ｎ－２）より、ＯＰ：ｙ＝３（ｎ－２）ｘ
ｘ＝ｋ（整数）のとき、（ｋ，３ｋ^2－６ｋ）～（ｋ，３（ｎ－２）ｋ）は、格子点だから、
個数は、ｘ＝ｋのときのＯＰのｙ座標から、（放物線Ｃのｙ座標－１）を引きます。
ｆ（ｋ）＝３（ｎ－２）ｋ－｛（３ｋ^2－６ｋ）－１｝
＝３ｎｋ－６ｋ－３ｋ^2＋６ｋ＋１
＝３ｎｋ－３ｋ^2＋１

先に以下の例で考えてみて下さい。グラフを描いて格子点を数えてみて下さい。
ｆ（ｘ）はｘ＝ｋ上にありDに含まれる交子点の個数
ｎ＝２のとき、ＯＰ：ｙ＝０
ｆ（０）＝１個　（０，０）
ｆ（１）＝４（１，－３）～（１，０）…－３は放物線Ｃの最小値
ｆ（２）＝１（２，０）
ｎ＝３のとき、ＯＰ：ｙ＝３ｘ
ｆ（０）＝１（０，０）
ｆ（１）＝７（１，－３）～（１，３）…ｙ＝３×１＝３
ｆ（２）＝７（２，０）～（２，６）…ｙ＝３×２＝６
ｆ（３）＝１（３，９）

＞(2)Dに含まれる交子点の個数を求めよ。
Σ（ｋ＝０～ｎ）｛３ｎｋ－３ｋ^2＋１｝
＝（３ｎ・０－３・０＋１）＋Σ（ｋ＝１～ｎ）｛３ｎｋ－３ｋ^2＋１｝
＝１＋３ｎΣ（ｋ＝１～ｎ）ｋ－３Σ（ｋ＝１～ｎ）ｋ^2＋Σ（ｋ＝１～ｎ）１
＝３ｎ・(1/2)ｎ（ｎ＋１）－３(1/6)ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）＋（ｎ＋１）
＝(1/2)（ｎ＋１）｛３ｎ^2－（２ｎ^2＋ｎ）＋２｝
＝（1/2)（ｎ＋１）（ｎ^2－ｎ＋２）

＞(3)ｆ(k)が最大になるようなｋを求めよ。
ｆ（ｋ）＝－３（ｋ^2－ｎｋ＋ｎ^2／４）＋３ｎ^2／４＋１
＝－３（ｋ－ｎ／２）^2＋３ｎ^2／４＋１
ｋは、整数だから、
ｎが偶数のとき、ｋ＝ｎ／２のとき最大
ｎが奇数のとき、ｋ＝（ｎ－１）／２とｋ＝（ｎ＋１）／２のとき最大

（１）の例より、
ｎ＝２のとき、ｋ＝１で最大ｆ（１）＝４
ｎ＝３のとき、ｋ＝１とｋ＝２で最大ｆ（１）＝ｆ（２）＝７

グラフを描いて考えてみて下さい。

お礼

例がついていて、
とても分かりやすかったです！

ありがとうございました^^*