• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

四の二十一 高校数学の数列です

関数f(x)を次のように定義する f(x)={1(x=0のとき),0(x≠0のとき)} このときf(x)を使って数列a[0],a[1],a[2],....をa[0]=0, a[n]=a[n-1]+f{(a[n-1]+1)^2-n}(n>=1)で定義する このとき、a[n]=[√n](n>=0)であることを証明せよ ただし、[x]はxをこえない最大の整数を表す 回答 a[0]=0であるからa[n]=[√n](1)はn=0のときに成り立つ n=kのときに(1)が成り立つと仮定し[√k]=mとおくと a[k+1]=a[k]+f{(a[k]+1)^2-(k+1)} =m+f{(m+1)^2-1-k} よってk=(m+1)^2-1のときはa[k+1]=m+1,[√k+1]=m+1よって a[k+1]=[√k+1] またm^2<=k<(m+1)^2-1のときはa[k+1]=m, [√k+1]=m よって[√(k+1)] したがってn=k+1のときも(1)が成り立つ よって数学的帰納法により0以上の全ての整数について位置が成り立つ とあるのですが[√k+1]=m+1とか[√k+1]=mは何のために求めるのですか?

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • f272
  • ベストアンサー率46% (6265/13459)

まずは数学的帰納法を勉強してください。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

御返答有難うございます

質問者からの補足

勿論勉強しています

関連するQ&A

  • 四の二十一 高校数学の数列再

    関数f(x)を次のように定義する f(x)={1(x=0のとき),0(x≠0のとき)} このときf(x)を使って数列a[0],a[1],a[2],....をa[0]=0, a[n]=a[n-1]+f{(a[n-1]+1)^2-n}(n>=1)で定義する このとき、a[n]=[√n](n>=0)であることを証明せよ ただし、[x]はxをこえない最大の整数を表す 回答 a[0]=0であるからa[n]=[√n](1)はn=0のときに成り立つ n=kのときに(1)が成り立つと仮定し[√k]=mとおくと ここまででkが整数と合ったのですがkが整数というのはどこで分かりますか?

  • 高校数学数列の問題です。

     数列 { a[n] } を次のように定める。 (i)a[1] = 0 (ii)n = 2, 3, 4, … に対し a[n-1] ≧ n のとき a[n] = a[n-1] - n a[n-1] < n のとき a[n] = a[n-1] + n とする。 (1)a[7] を求める。 (2)a[k] = k のとき、条件 m > k、a[m] = m を満たす最小の整数 m を k で表す。 (3)a[2018]を求める。  昨夜 https://okwave.jp/qa/q9573183.html で同じ質問をした者です。せっかく回答いただいたのに、ぱっと見でわかったと勘違いしてました。じっくり取り組んだら全然理解していませんでした(笑)。 (2)   a[k] = k (kは自然数) より n = k+1 のとき a[k] = k < k+1 なので   a[k+1] = a[k] + (k+1) = 2k + 1.  n = k+2 のとき a[k+1] = 2k + 1.   2k+1 - (k+2) = k - 1 ≧ 0.  したがって   a[k+2] = k-1.  ある自然数 j < k に対して   a[k+2j-1] = 2k + j   a[k+2j] = k - j と仮定する。  n = k+2j+1 のとき   a[k+2j] - k+2j+1  = (k-j) - (k+2j+1) = -3j-1 < 0 だから、a[n]の定義により   a[k+2j+1] = a[k+2j] + k+2j+1        = (k-j) + k+2j+1        = 2k + j + 1.  n = k+2j+2 のとき   a[k+2j+1] - (k+2j+2)   (2k+j+1) - (k+2j+2) = k - j - 1 ≧ 0 ( j < k なので k - j ≧ 1 ) だから   a[k+2j+2] = a[k+2j+1] - k+2j+2        = (2k+j+1) - k+2j+2        = k - j - 1.  ここまでは何とか解読しました(笑)。  まとめると、ある自然数 j < k に対して   a[k+2j-1] = 2k + j   a[k+2j] = k - j と仮定したとき   a[k+2j+1] = 2k + j + 1   a[k+2j+2] = k - j - 1 が成立するわけですが、ここから >  j + 1 < k ならば全ての自然数 j < k に対して >  a[k+2j-1] = 2k + j >  a[k+2j] = k - j ・・・・・ (2.1) > が成り立つ が、わかりにくいです。数学的帰納法を使うのでしょうが、どう適用すればいいのかわかりません。

  • 数学的帰納法

    数列anを a1=1, a2=1, an=an-2+an-1(n=3,4,5) で定義する。 このとき、すべての正の整数に対して次の不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。 という問題で 解答では n=1,2のとき成り立つことを示して n=k,k+1のとき成り立つと仮定して n=k+2のとき成り立つことを示す と書いてあるのですが、 n=1のとき成り立つ、 n=kのとき成り立つと仮定、 n=k+1のとき成り立つ にしないのはなぜですか? 教えてください お願いします!!m(_ _)m

  • この数学的帰納法を用いた証明問題がわかりません。

    この数学的帰納法を用いた証明問題がわかりません。 (2)n 回微分可能な関数f(x) のn 次導関数をf^(n)(x) で表しf^(0)(x) = f(x) と定 義するとき,次の公式(P) が成立する.以下の問(a), (b) に答えなさい. (P)d^n/dx^n ( e^xf(x) ) =Σ(r=0からn)t(n r)e^xf^(r)(x) ( n ≧ 1, t(n r)=n!/( r!(n - r)! ) ) (a) g(x) = x^2e^x のn 次導関数g^(n)(x) を求めなさい. (b) 数学的帰納法を用いて公式(P) を証明しなさい.ただし,必要であれ ば次の性質を用いてよい. t(n ,r - 1)+t(n,r)=t(n + 1,r) (r ≧ 1; n ≧ r) -------------------------------------------------------------- 画像が見づらくて申し訳ありません。 (a)はh(x)=x^2と置くと、 g^(n)=d^n/dx^n( e^xh(x) )=Σ(rからn)e^x h^(r) (x) これで合っていますか? (b)は n=1のときは明らかに成り立つ。 n=k(kは自然数)のとき成り立つと仮定し、n=k+1のときの式変形がどうもうまくいきません。 (n≧3のときh^(n)=0であるのはわかります。) どなたか解説をよろしくお願いします。

  • 数学的帰納法について

    数学的帰納法についての問題で、ちょっと悩んでいますので、 どなたかお教えください><; とある、国立医学科の問題です。 「 a,bを負でない整数とし、a>bとする。 a1=a, a2=b, a(n+2)=la(n+1)-anl (n=1,2,3・・・)によって定義される 数列{an}について、次の問いに答えよ。 q,rを負でない整数として、a=(2q+1)b+r,r<bとする。 このとき、初めてan=rとなるnを求めよ。 」 との問題で回答が以下のようにようなっています。 「 m=1,2,3・・・,q+1 に対して  a(3m-2) = {2q+1-2(m-1)}b+r  a(3m-1) = b  a(3m) = {2q-2(m-1)}b+r が成り立つことを数学的帰納法により示す。 n=1の時、、、、と以下解説が続くのですが、 ここで質問です><; 何で、最初の一行が 「m=1,2,3・・・,q+1」となっているのでしょうか? 「m=1,2,3・・・」ではダメなんでしょうか? どの参考書、問題集を見ても、 「m=1,2,3・・・」となっているんですが、こうしたらダメなんでしょうか? 赤本の解説以外に、東進の解説も確認したら、全く同じようになっていました。 また、仮定条件の時には 「m=k(k=1,2,3・・・q)のとき、成立すると仮定する」と書いてありますが、 「m=k(k=1,2,3・・・)」じゃダメなんでしょうか? 何で、 「q+1」や「q」までとなっているのでしょう? しかも、「q」は「a=(2q+1)b+r」の中で使用されている文字なのに、、、、、 さっぱり分かりません。(/_<。) どなたか教えてください(>_<。)HelpMe!!

  • 数学的帰納法以外の解き方

    漸化式 a[n]=4, a[n+1]=3a[n]^2+4a[n]+3 (n=1,2....) で定まる整数の数列{a[n]}を考える。このときa[n]-4が7で割り切れる ことを証明せよ。 という問題なのですが,数学的帰納法以外で解く方法を教えていただけないでしょうか? お願いします!

  • 数列と極限

    関数f(x)=4x-x^2に対し、数列anをa1=c,an+1=√f(an) (n=1,2,3...)で与える。ただし、0<c<2という問題で 1、0<an<2,an<an+1を示せ 2、2-an+1<(2-c/2)(2-an)をしめせ。 という問題で、1のほうは数学的帰納法でほとんど解けたのですが、2のほうがよくわかりません。教えてください

  • 数学的帰納法

    nが自然数のとき、次の等式(*)を数学的帰納法を用いて証明せよ。 2+4+6+…+2n=n(n+1)・・・(*) 今日、数学的帰納法を勉強すていて自分で回答をつくったのですが、これでいいのか見てもらえませんか? 2+4+6+…+2n=n(n+1) (1)n=1のとき、左辺2、右辺2、よって成り立つ (2)n=kのとき 2+4+6+…2k=k(k+1)・・・1 が成り立つと仮定すると n=k+1 2+4+6+…2k+2(k+1)=(k+1)(k+2)・・・2 が成り立つことを証明する 2+4+6+…2k+2(k+1)=k(k+1)+2(k+1)・・・3 2と3の右辺が一致するので、(*)は成り立つ (1)(2)より、すべてな自然数は成り立つ ・・・3のところを 2+4+6+…2k+2(k+1)=k(k+1)+2(k+1) =(k+1)(k+2) =kの2乗+3k+2 よって成り立つ こうしてもよいのでしょうか 自分でつくったためあっているかわかりません 教えてください。

  • 数学的帰納法について

    数学的帰納法は、 (1)n=1のとき成り立つことを証明 (2)n=kのとき成り立つと仮定して、n=k+1の時も成り立つことを証明しますよね。 この(2)についてなのですが… なぜkが出てくるのでしょうか?? n≧2のとき成り立つと仮定して、n+1のときも成り立つかどうかを考えていくのは間違いなのでしょうか?? 回答よろしくお願いします。

  • また数列の問題です

    おはようございます。また教えていただきたいのでよろしくお願いします。 nが自然数の時、次の不等式を数学的帰納法で証明せよ。 (n+1)(n+2)(n+3)・・・・(2n)=2^n・1・3・5・・・・(2n-1) 回答はあるのです。あるのですがどうしてそうなるのか理解できないのです。 (n+1)(n+2)(n+3)・・・・(2n)=2^n・1・3・5・・・・(2n-1)・・・・(1) [1] n=1の時      (左辺)=2, (右辺)=2^1・1=2      よって、n=1の時(1)は成り立つ。 [2] n=kの時、(1)が成り立つと仮定すると      (k+1)(k+2)・・・・2k=2^k・1・3・・・・(2k-1) と、ここまでは分かるのですが、これ以下がどうしてそうなるのか分かりません。詳しく教えてください。 n=k+1の時を考えると      (k+2)(k+3)・・・・(2k)・(2k+1)(2k+2)      =2^k1・3・5・・・・(2k-1)/k+1・(2k+1)(2k+2) あたりから分からないのです。よろしくお願いします。