ガウス記号・数列

質問

a_n=[n/2]-[n/4],b_n=[n/3]-[n/6],c_n=a_n+1-b_n+2
;[]はガウス記号,_は数列を表します。
ここで、実数xに対して、[x]はxを超えない最大の整数を表す。
すなわち[x]はm≦x≦m+1となる整数mである。

a_5=1,a_10=3,b_5=1,b_10=2,c_5=1,c_10=1
である。

(1)すべてのnに対して
a_n+r=a_n+1,b_n+s=b_n+1,c_n+t=c_n+1
が成り立つ整数r,s,tを求めよ。

(2)a_n≧10となる最小のn、b_n≧10となる最小のn、c_n≧10となる最小のnを求めよ。

(3)Σ_[k=1,n]a(k)≧100となる最小のn、Σ_[k=1,n]ｂ(k)≧100となる最小のnを求めよ。

どの様なアプローチの仕方をしていいのか分かりませんでした。
解説を宜しくお願い致します。

回答No.1

thetas · ベストアンサー

第n項を、a(n)と表すことにします。

まずは、ガウス記号をはずすために、場合分けをしてみます。
（とはいえ、ガウス記号が多いですねぇ）

場合分けの方針は、
以下の理由から「４で割った余りによって場合分け」をしてみます。
　[n/2]だと、nが偶数か奇数かで、式の表し方が異なります。
　[n/4]だと、nが４で割った余りによって、式の表し方が異なります。
　この２つのnの場合分けの仕方を合わせたのが、
　「４で割った余りによって場合分け」をします

つまり、n=4k，4k+1，4k+2，4k+3とおきます。

a(n)について、kを自然数として、
a(4k)=[2k]-[k]=k
次からはkを０以上の整数として、
a(4k+1)=[2k+(1/2)]-[k+(1/4)]=k
a(4k+2)=[2k+1]-[k+(1/2)]=k+1
a(4k+3)=[2k+1+(1/2)]-[k+(3/4)]=k+1

これらから、(1)の
「すべての整数nに対して、a(n+r)=a(n)+1が成り立つ整数rを求めよ。」
の解答は、
「rは４の倍数に限る」
となります。

ちなみに、条件を満たすrの最小値を求める問題ではないでしょうか。
そうでしたら、「r=4」ということになります。

b(n)については、a(n)と同じ方針で解けます。
c(n)については、a(n)とb(n)を用いて解けると思います。
また、(2)(3)は、具体的に{a(n)}と{b(n)}を書けば方針がたつのでは、と思います。

最後に感想を１つ、c(n)の式は見慣れない形で決められていますね。

お礼

ご解答有難うございました。
まだあまりよく分かっていないのですが考えてみます。