等差・等比数列

質問

【1】等差数列{An}に対してSn=Σ(n,k=1)Akとおく。
ここで、初項A1=38、第(m+1)項Am+1=5、Sm+1=258とする。
このときm=○であり、公差は○である。
また、Snはn=○のとき最大となり、その最大値は○である。
【2】等比数列{Bn}の初項B1と公比rは正の数とし、
Tn=Σ(n,k=1)Bkとおく。この数列{Tn}は
5T2=4T4を満たすとする。
ここでT4=(r~2+○)T2であるので、数列{Bn}の公比はr=○である。
さらにpを定数とし、Un=p+Tnとおく。p=○B1であるならば、
数列{Un}は等比数列となる。

【1】
Am+1=38+md=5
Sm+1=(m+1)/2(38+5)=258
m=11
よって38+11d=5　d=-3
An=-3n+41
-3n+41<0
n>41/3より、nが14以上で-3n+41が0より小さくなるので
Snはn=13のとき最大　そのきの最大値は
S13=13/2(38+2)=260
で合ってるでしょうか。

【2】
Bn=B1・r^n-1
B1>0、r>0
これは全然やり方が分からないんですが、
まず何をやればいいんでしょうか。

回答No.2

R_Earl

先ほど回答した者ですが、訂正です。
等比数列の和の公式を間違えました。
Bn = B1{r^(n-1)}の和Tnは

Tn = B1{ (r^n) - 1 } / (r - 1)

です(初項B1をかけるのを忘れました)。
なので

T2 = B1{ (r^2) - 1 } / (r - 1)
T4 = B1{ (r^4) - 1 } / (r - 1)

となります。

ただ、T4 = { (r^2) + x }T2の方程式に関しては
両辺を約分すると追加したB1が消えてしまうので、結局

T4 = { (r^2) + x }T2
↓
{ (r^4) - 1 } / (r - 1) = { (r^2) + x }{ (r^2) - 1 } / (r - 1)

のままになります。
5T2 = 4T4の方程式に関してはT2、T4の形のまま処理しているので、
こちらも結局

5T2 = 4T4
↓
5T2 = 4(r^2 + 1)T2
∴{ 4(r^2) - 1 }T2 = 0

のままです。

失礼しました。

回答No.1

R_Earl

【1】は合っていると思います。

> 【2】
> Bn=B1・r^n-1
> B1>0、r>0
> これは全然やり方が分からないんですが、
> まず何をやればいいんでしょうか。

Tn = { (r^n) - 1 } / (r - 1)

T2 = { (r^2) - 1 } / (r - 1)
T4 = { (r^4) - 1 } / (r - 1)

5T2 = 4T4の関係式にT2 = { (r^2) - 1 } / (r - 1)と
T4 = { (r^4) - 1 } / (r - 1)を代入して方程式を作り、rを求めることもできます。
しかしせっかくなので、問題文に沿ってやってみます。

> ここでT4=(r~2+○)T2であるので、

○ = xとおいて、T4 = { (r^2) + x }T2が成り立つようなxを求めます。
この関係式にT2 = { (r^2) - 1 } / (r - 1)とT4 = { (r^4) - 1 } / (r - 1)を代入して

{ (r^4) - 1 } / (r - 1) = { (r^2) + x }{ (r^2) - 1 } / (r - 1)
(右辺) = { (r^4) + (x - 1)(r^2) - x } / (r - 1)
左辺と右辺を比較して、x = 1。
よってT4 = (r^2 + 1)T2

問題文中に載っている5T2 = 4T4の関係式にT4 = (r^2 + 1)T2を代入して

5T2 = 4(r^2 + 1)T2
∴{ 4(r^2) - 1 }T2 = 0

細かいところは省きますが、T2 ≠ 0なので{ 4(r^2) - 1 } = 0となり、
題意を満たすのはr = 1/2だけとなります。

> さらにpを定数とし、Un=p+Tnとおく。p=○B1であるならば、
> 数列{Un}は等比数列となる。

Tn = { (r^n) - 1 } / (r - 1)なので、
Un = p + { (r^n) - 1 } / (r - 1)

r = 1/2を代入し、Unを等比数列の形に持っていくには、
pの値をどうすれば良いのかを考えてみてください。