等差数列について

質問

以下の問題について解答解説をお願いします。

Q.座標平面上で、x座標とy座標がいずれも整数である点(x,y)を格子点という。
(1)x≧0，y≧0，x＋y≦20　を同時に満たす格子点(x,y)の個数を求めよ。
(2)y≧0，y≦2x，x＋2y≦20　を同時に満たす格子点(x,y)の個数を求めよ。

(1)は最初、領域内の直線x＝k(0≦k≦20)上の格子点の個数　21－k　を総数20、k＝0のΣ(21－k)として計算してみたのですが、出てきた答えが210でした。
自分で一個ずつ数えていくと231個あったので、出てきた答えと合いません。
等差数列で一般項をAn＝－n＋21(初項　20、項差　－1)として和を計算しても210にしかなりませんでした。
(2)は、グラフを書いてみて、0≦x≦4と0≦y≦7(5≦x≦20)の２つに分けて求めていけばいいのかなあと思い、(1)のようにやってみたのですが、上手くいかず、詰まってしまいました。

お願いします。

回答No.3

kumipapa · ベストアンサー

＞　自分で一個ずつ数えていくと231個あったので
えらい。それでよい。
ついでに、An = -n + 21 の初項と項数もちゃんと数えてみたら？

(2) も (1)と同じように x = k と固定して数えてみれば、規則性が見えてくるでしょう。

＞　という解き方はアリでしょうか?
キリギリスだと思う。
An = -n + 21 でがんばってみたら？

お礼

…先ほど考えていて、An＝21－nを使って解くことが出来ました。
Σを用いると分からなくなるので初項・末項・項数を出して、和の公式を用いて解きました。
ありがとうございました！！

補足

初項は20で項数は21だと思うのですが違うのでしょうか?
何度　An = -n + 21 の方法で解き進めていっても、答えに辿り着かないんです…
自分の中で何を勘違いしているのかがどうしても分かりません。
何かヒントを教えて下さい。お願いします。

回答No.4

koko_u_

とりあえず、ヒントはやれん。

>チャートに載っていたということは論証されているということだと認識していい…ですよね？
まったく思い違いをしているようですね。

解答欄で「あなたが」その解法の正当性を論証する必要があるという意味です。
それはどんな解法をとろうと同じです。
まさか試験の解答欄に「チャートの解法によると」などと書くわけではないでしょう？

お礼

いろいろとありがとうございました！！

補足

そうですね…！
そんなこと解答欄に書けませんね。。
すいませんでした。

さっきAn＝21－nを使って解くことが出来ました。
Σを用いると分からなくなるので初項・末項・項数を使う和の公式を用いて解きました。

ありがとうございました。

回答No.2

koko_u_

>私の中で思い違いがあるのだろうとは思うのですが
そういうのは自分で気付くから意味があるのです。もうちょっと考えましょう。

>上手くいかないというのは、(1)と同じく、
>自分で一個ずつ数えると97個あるのに計算すると80になるということなんです…
経過が書かれていないので、アドバイス不能です。多分同じ原因ですけど。

>という解き方はアリでしょうか?
その式が「正しい」ことを論証できればどんな解き方でもよい。

補足

考えてみたのですが、どうしても分かりません。
何かヒントをいただけないでしょうか？

(2)領域内の直線x＝m(0≦m≦4)上の格子点の個数は2m＋1、また、5≦m≦20において、直線y＝n(0≦n≦7)上の格子点の個数は16－2n　
ゆえに 総数4、m＝0のΣ(2m＋1) ＋ 総数7、n＝0のΣ(16－2n) を解くと80になりました。

チャートに載っていたということは論証されているということだと認識していい…ですよね？

回答No.1

koko_u_

>等差数列で一般項をAn＝－n＋21(初項　20、項差　－1)として和を計算しても
>210にしかなりませんでした。

たぶん項の数をまちがえているだけ。

>(1)のようにやってみたのですが、上手くいかず

どんな風にうまくいかないのか補足にどうぞ。

補足

私の中で思い違いがあるのだろうとは思うのですが、項数の数を変えてやってみても210になるんです…項数は20ではないのでしょうか?

上手くいかないというのは、(1)と同じく、自分で一個ずつ数えると97個あるのに計算すると80になるということなんです…

あの、さっき考えてみたのですが、
(1)でグラフを書いてy目盛0～20、x目盛0～20における格子点の個数は(20＋1)(20＋1)
対角線上を満たす格子点の個数は21個
よって条件を満たす格子点の個数は、{(20＋1)(20＋1)－21}/2＋21
という解き方はアリでしょうか?
もしアリだったら、答案用紙に通用する上手な書き方を教えて下さい。