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等差数列の問題です。

初項が80、公差が-3の等差数列の初項から第n項までの和が最大となるのは、n=○○のときで、その和は○○○○である。 この問題を教えて下さい。 宜しくお願いします。

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  • 回答No.1
  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (1947/5848)

等差数列の和の公式に当てはめて、 S=(n/2)・{2・80-3(n-1)}=(n/2)・(-3n+163)=-3n^2/2+163n/2 平方完成すると、n=163/6=27.1......のときに最大値を取る。 nは自然数なのでn=27のときに最大値を取る。 このときのS=-(3/2)・27^2+163・27/2=1107 かな?

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その他の回答 (2)

  • 回答No.4
  • suko22
  • ベストアンサー率69% (325/469)

初項をa、公差をdとすると等差数列の一般項anは、 an=a+(n-1)d 初項から第n項までの和Snは、 Sn=n(a+an)/2(初項と末項を足してn/2を掛けると覚えておくとよい) 使うのはこの2つの公式。 初項が80、公差が-3の一般項anは、 an=80-3(n-1)=-3n+83 この数列は初項80から-3ずつ小さくなっていく数列である。 そしてある第?項から後はずっとマイナスになる。 だから初項から第n項までの和が最大になるのは、一般項anが正の数 である項までをすべて足し合わせたものになる。 それでは第何項までがanが正の数かを求める。 an=-3n+83>0 n<83/3 n<27.6・・・ nは項数を表すので自然数。 よって第27項までが正の数ということになる。 ゆえに、初項から第27項までの和が最大となる。 S27=27(a+a27)/2 =27{80-3*27+83)/2 =1107 別解) 一般項an=-3n+83 Sn=n(a+an)/2=n(80-3n+83)/2=-3/2(n-163/6)^2+3/2*(163/6)^2 Snはnの2次関数になる。頂点(163/6,3/2*(163/6)^2)の上に凸のグラフ。 よってn=163/6=27.1・・・のときSnは最大になる。 nは自然数なのでn=27のときSnは最大になる。 よって、S27=1107 2次関数に馴染んでいればこちらでもいいですけど、計算がちょっとめんどくさいので、 最初の解法をお勧めします。

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  • 回答No.2
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

80/3+1 を切り捨てれば 27.

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