Dirichlet約数問題とGauss円問題の類似

質問

Gauss円問題とは、自然数nが与えられたとき、原点を中心として半径をnとする円の内部(境界を含む)にある格子点の個数N(n)を求める問題で、
N(n) ～ πn^2
となりますが、より詳しい近似が未解決です。

Dirichlet約数問題とは、自然数nが与えられたとき、
1,2,3,…,n
のそれぞれの正の約数の個数の合計Σ[k=1,n]d(k) (ただし、d(k)はkの正の約数の個数)を求める問題で、
Σ[k=1,n]d(k) ～ n log(n) + (2γ-1)n (ただし、γはオイラー・マスケローニ定数)
となりますが、より詳しい近似が未解決です。
Σ[k=1,n]d(k)は、第一象限の双曲線xy=nとx軸,ｙ軸の内部(境界を含む)にある格子点の個数と見なせるので、Gauss円問題と同系統とみなせます。

すると、気になるのが、放物線で囲まれた領域に関する格子点の個数です。
例えば、
放物線√x+√y=nとx軸,ｙ軸の内部(境界を含む)にある格子点の個数に関する研究成果はあるのでしょうか?

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

√x+√y=n
y=(n-√x)^2=n^2-2n√x+x
y=f(x)は0≦x≦n^2でf(0)=n^2,f(n^2)=0の減少関数だから
√x+√y=nとx軸,ｙ軸の内部(境界を含む)にある格子点の個数をN(n)とすると
軸上の格子点数は
2n^2+1
だから
N(n)=(Σ_{k=1～n^2}[{n^2-2n√k}+k])+2n^2+1

0≦k<n^2,k整数のとき
[{n^2-2n√(k+1)}+k+1]≦∫_{k～k+1}(n^2-2n√x+x)dx
∫_{k～k+1}(n^2-2n√x+x)dx<[{n^2-2n√k}+k]
だから
Σ_{k=1～n^2}[{n^2-2n√k}+k]≦∫_{0～n^2}(n^2-2n√x+x)dx

∫_{0～n^2}{{n^2-2n√x}+x}dx<(Σ_{k=1～n^2}[{n^2-2n√k}+k])+2n^2

∫_{0～n^2}(n^2-2n√x+x)dx
=n^2∫_{0～n^2}dx-2n∫_{0～n^2}x^{1/2}dx+∫_{0～n^2}xdx
=n^2[x]_{0～n^2}-2n[2x^{3/2}/3]_{0～n^2}+[x^2/2]_{0～n^2}
=n^4-4(n^4)/3+(n^4)/2
=(n^4)/6

1+[(n^4)/6]<N(n)≦[(n^4)/6]+2n^2+1

お礼

まことにありがとうございます。

N(n)～(n^4)/6
ということですね。すると、この問題の場合もより詳しい近似が問題になりそうですね。