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- milktocoffe
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点(0,0)(2a,0)(a,m)を通る放物線はy=(-m/a^2)x^2+(2m/a)x Sm=∫(0→2a)((-m/a^2)x^2+(2m/a)x)dx =((-m/3a^2)x^3+(m/a)x^2)(0→2a) =(-m(8a^3)/3a^2)+4a^2m/a=-m8a/3+4ma=(-8+12)ma/3=4ma/3 x軸、y軸、直線x=2a、直線y=mで囲まれた面積S=2am、S内の 格子点の数(境界線上含まず)M=(m-1)(2a-1) Mの内Smに含まれる数Lm1=(m-1)(2a-1)*Sm/S=(m-1)(2a-1)(4ma/3)/2am =2(m-1)(2a-1)/3 x軸上及び直線y=m上でカウントすべき格子点の数=Lm2=2a+1+1=2(a+1) よってLm=Lm1+Lm2=2(m-1)(2a-1)/3+2(a+1)=2(2am-m-2a+1)/3+6(a+1)/3 =(4am-2m-4a+2+6a+6)/3=(4am-2m+2a+8)/3=2m(2a-1)/3+2(a+4)/3 Lm/Sm=(3/4ma)2m(2a-1)/3+2(3/4ma)(a+4)/3=(2a-1)/2a+(a+4)/2ma よってlim(m→∞) Lm/Sm=lim(m→∞){(2a-1)/2a+(a+4)/2ma}=(2a-1)/2a
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