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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：円と球の内部の格子点について）
円と球の内部の格子点について
このQ&Aのポイント
- 円と球の内部に含まれる格子点の数を求める問題です。
- xy平面において、原点中心、半径ｒの円の内部に含まれる格子点の数をSrとし、ｘｙｚ座標空間になったときの原点中心、半径ｒの球の内部に含まれる格子点の数をVrとします。
- 問題ではSrとVrの値を求め、Vr/Srをｎ→∞としたときの値を求めることが求められています。
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Sr や Vr を r の式で表示するのは、難しそう。 lim[r→∞] Sr/(πr^2) = 1 と lim[r→∞] Vr/{(4/3)πr^3} = 1 を示すのは、 それぞれ、円と球との求積そのもの。 円を正方形で、球を立方体で、覆うことを考えよう。 そこから、lim[r→∞] Vr/Sr の発散は言える。
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- arrysthmia
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回答No.2
＞ Sｒ＝4（ｒ－１）＾２＋４ｒ＋１ （ｒ≧２） ＞ これで正しいと思うんですが。。。 半径が 4 の場合、第一象限の格子点は (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2) の 8 個で、M = (4-1)^2 が早くも成り立たない。 No.1 に書いた「円を正方形で、球を立方体で、覆う」は、 π (r - 1/√2)^2 < Sr < π (r + 1/√2)^2 という意味だけど。 この式の r ± 1/√2 に出てくる 1/√2 は、 一辺 1 の正方形の中心から頂点までの長さ。
補足
＞lim[r→∞] Sr/(πr^2) = 1 と lim[r→∞] Vr/{(4/3)πr^3} = 1 を示すのは、 それぞれ、円と球との求積そのもの。＞ がよく言ってる意味がわかりません。 自分なりに考えてみた結果、 まず、円の場合、これは円の面積に帰着します。ｒ＝1の場合はただ単に軸に乗っている格子点だけなので、Sr＝5 ｒ≧２の場合は、面積に対応した格子点を考える。軸にのっているものと、乗っていないものを分けて考えると、軸によっているものは、原点を除くと、ｒ×4個あります。これは簡単。それで原点を入れれば、（4ｒ＋1）個になります。次に軸に乗ってないものだが、面積に対する個数の対応で、例えば、半径2の場合、ｘ＞０、ｙ＞０では（1、1）のみであり、半径3の場合、（1、1）（1、2）（2、1）（2、2）の４点である。つまり、ｒにおける単位面積に相当する（正方形の面積といってもいいし、円の面積といってもよい）。だから、この個数Mは M＝（ｒ－１）＾２ ＾２は二乗を意味します。 であり、第一象限に限らず、４象限で考えると４倍すればよい。以上を考慮して、 Sｒ＝4（ｒ－１）＾２＋４ｒ＋１ （ｒ≧２） これで正しいと思うんですが。。。 つづいて、三次元の場合、円の場合。同様に単位立法体を考える。もちろん、軸にのっているもの、のってないものを別々に数える。ｒ＝１の場合は簡単で、7個です。 ｒ＝2の場合は一辺が２の立法体を考え、その頂点と、各辺に乗っている点を数えれば、軸にのっている点は除かれます。だから、頂点は8だから８×1個、その間は1個あり、辺は全部で12つだから、12×1個。 軸に載っているものは、7個だから、全部で ８＋１２＋７＝２７個である。 V2＝27 ｒ＝３の場合は、立方体の表面を考える。１つの表面がSrにあたる考えればよく、面が６つあるので、6Srとすればいいのですが、頂点を3回重複して数えているので、-4×2 よってV３＝6×S3 －8 ＋S2 以上から、 Vr＝6×Sr+S（r－1） －8 （ｒ≧3） であるとわかる。これをとけば、Vrが求まるが、私はこれを解けない。。。 Vr/Sr をｎ→∞としたとき（あっ、ｎじゃなくｒですね）r→∞のとき、もちろん∞に発散する。 こんな感じであってますかね？