格子点問題 平行四辺形

質問

「ｘｙ平面上に格子点を４頂点とする面積が３の平行四辺形Tがある。Tの内部（周は除く）の格子点の個数をNとする。Nのとりうる値をすべて求めよ」

この問題を解いています。
Tのうち1点が原点にあるとして、面積が３ということは、Tは底辺１高さ３、または底辺３高さ１のものしかないのでしょうか？
このとき前者のNは０となるのでしょうか？
また後者のほうは多くのパターンがあると思うのですがうまく数え上げる方法はあるのでしょうか？

困っています。回答いただければ幸いです。よろしくお願いします

回答No.5

hiccup

コクセターの「幾何学入門」に、格子点を頂点とする多角形（辺が交わらない）の面積は

b/2 + c - 1　（ b は周上の格子点の個数、c は内部の格子点の個数）

で与えられる、というのが載っています。（ 1899年、G. Pick ）

辺の中点に格子点が来ることはないから c = 0 または 2 でしょう。

回答No.4

hiccup

平行四辺形の１つの頂点を原点におき、隣接する頂点を (a,b)、(c,d) とすると
|ad-bc| = 3　が成り立ちます。必要なら頂点を並べ替えて ad-bc = 3　としておきます。
加法群として格子点を　L = Z(1,0) + Z(0,1)、L' = Z(a,b) + Z(c,d)　とおいて、商群　L/L'　を考えるのはどうでしょうか。
証明はしていませんが、L/L' は３つの元からなりそうです。
単位元は頂点ですから、残る２つについて調べると、辺の上に格子点があるとき、２つの元は境界上にあると思われます。１つだけがあるということはありません。
だから、内部にあるのは 0 か 2 と予想します。

回答No.3

yukimin387

＞例えば(0,0)、(1,-1)、(0,3)、(2,1)を頂点とする平行四辺形は

(0,3)ではなく(3,0)でした。

回答No.2

yukimin387

格子点がx軸、y軸に平行に並んでいるとして、
平行四辺形の四辺のうちの二辺がx軸またはy軸に平行な場合、おっしゃるように底辺１高さ３、または底辺３高さ１のものしかないです。
後者の方がＮ＝０になるように思います。
前者の方は、周は含まないので底辺（y=0）と上辺（y=3）には内部の格子点はないのであるとすればy=1とy=2の部分だけです。その部分のx方向の長さは１なので各yにつき格子点は最大で１個となります。
したがってこの場合Ｎの範囲は０～２となるように思います。

次に平行四辺形の四辺がすべてx軸、y軸に平行でない場合で面積３になる場合があるかを考えると、例えば(0,0)、(1,-1)、(0,3)、(2,1)を頂点とする平行四辺形は面積が３です。その形の場合もＮ＝２です。
それ以外のパターンがあるようには思えませんが証明する方法はちょっとわかりません。

考え方としてはこんな感じでしょうか。

回答No.1

koko_u

T の一辺が x軸にべったりくっついているのではなく、x-y 座標に対して斜めになっているということです。

面積が 3 になるような平行四辺形 T は無数に考えられるが、あまりに T がひらべったくなってしまうと内部に格子点が含まれなくなるので N は上限を持つだろう。

というのが問題の意図です。