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平行四辺形について

平行四辺形ABCDの各辺の中点を図のようにE,F,G,Hとし、線分AG,CEと線分BH,DFとの交点をK、M,Nとする。このとき、四角形KLMNの面積は四角形ABCDの面積の何倍か。 面積の図は(頂点は)左上から下、右、に回って A,E,B,F,C,G,D,H 真中の平行四辺形は右から下と言う順でL,M,N,K 全体的にどのように求めるかわからないのですが、 特に、AK=2EL、EL=NG についてどうして成り立つのかがよくわかりません。

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みんなの回答

  • 回答No.3

boku115さん、こんにちは。 #2fushigichanです。 >あの。掃除比についてよくわかりません。 ごめんなさい、掃除比ではなく、相似比です。 つまり、相似関係にある2つの図形の、比率です。 辺の比率が1:2の相似な図形の相似比は、1:2です。 図形が相似の関係にあるときに、1つの辺をとってみて、 その辺の長さの比率がどうなっているか?ということですね。 △AKB∽△ELB ですから、辺の比率=相似比=ABの長さ:BEの長さ=2:1 ということです。 さて、 >AK=2EL、EL=NG が成り立つところまでは、分かりました。 あとは、面積の比率を求めればいいですね。 さて、△ABK∽△EBLだったように、 △DAN∽△HAKとなり、この相似比も、2:1となっています。 つまり、AK=KNです。 直線AGをみてみましょう。 AK=KN、NG=EL=1/2AK でしたから、AG=5NG つまり、AGを5としたときに、KNは2の長さですね。 平行四辺形KLMN=(2/5)AG×高さ=(2/5)*平行四辺形AECG 平行四辺形AECGは、平行四辺形ABCDの1/2なので 平行四辺形KLMN=(2/5)*(1/2)*平行四辺形ABCD となるので、全体の5分の1であると分かります。 頑張ってくださいね。

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  • 回答No.2

boku115さん、こんにちは。 真ん中の四角形が、平行四辺形になることは、いいのでしょうか? △ADG≡△CBE (AD=BC  ∠D=∠B  GD=BE=1/2AB=1/2CDより) だから、AG=EC また、∠ECD=∠Cー∠ECB=∠A-∠DAG =∠BAG これが、錯角となるので、AG//EC 同様に、DH//FD となるので、真ん中は平行四辺形ですね。 さて、△AKBと△ELBにおいて、 ∠ABK=∠EBL共通 AK//ELより、 ∠EAB=∠LEB これが、錯角で等しいですね。 したがって3つの角が等しくなるので、 △AKB∽△ELBです。 その掃除比は、AB=2BEですから2:1 よって、AK=2EL がいえましたね。 また、△DGN∽△DCM も同じようにいえますね。 これから、MC=2NGです。 ここで、他の辺の比を考えると、 AB=2EB DC=2DG ですが、AB=DC(もとの平行四辺形の辺である) ですから、 DG=BE また四角形KLMNは平行四辺形だと上で証明したので、 KL=NM KN=LM このことから、 NM=DN=KL=BL ∠NDG=∠D-∠HDF=∠B-∠HBF=∠ABH であるから、 △DGN≡△BEL したがって、EL=NGが成り立ちます。

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質問者からの補足

ありがとうございます。 あの。掃除比についてよくわかりません。 それから、答えは1/4平行四辺形ABCDであっていますか?

  • 回答No.1

まずは、平行線に関する基本を整理してみましょう。 平行な2直線に交わるような直線を引いたときにできる角の 角度は(鋭角または鈍角同士で比べた場合)同じになる。 というのを使うと、三角形ABHと三角形CDFの 3つの内角はそれぞれ等しいことがわかると思います。 (線分BHと線分DFが平行であることも使ってください) よって、三角形ABHと三角形CDFは合同です。 これを使えば(もう少し手順が要りますが) 面積については見えてくるはずです。 ついでに、EL=NGは三角形が合同であることから わかると思います。 AK=2ELについては、三角形をABHとしてではなく、 ABKとして考えてください。 すると、中点連結定理が使えますので自明です。

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