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図形

すいません。 以前にも聞いて、わかったとおもったのですが、わからなくなっていまって。 平行四辺形ABCDの各辺の中点を図のようにE,F,G,Hとし、線分AG,CEと線分BH,DFとの交点をK、M,Nとする。このとき、 四角形KLMNの面積は四角形ABCDの面積の何倍か。 面積の図は(頂点は)左上から下、右、に回って A,E,B,F,C,G,D,H 真中の平行四辺形は右から下と言う順でL,M,N,K 全体的にどのように求めるかわからないのですが、 特に、AK=2EL、EL=NG とかどうやってわかるのでしょうか? 証明は苦手です。 答えは、1/5(平行四辺形)ABCD だそうですが、答えに程遠いです。 だれか、基礎からおしえてください。 お願いします

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  • hinebot
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これで最後になればいいですが…。 >△AND=4/5×△AGDになるのはわかるのですが、 >これから、4/5×1/4×平方四角形 ABCD >になるのがわかりません。 #6の最後の方で ---------------------------------------------- △AGD=1/4×平行四辺形ABCD なのはOKですか? EGを結ぶと平行四辺形AEGD=1/2×平行四辺形ABCDで、△AGDはさらにその1/2 ですね。 ---------------------------------------------- と説明しましたが、これがわからないのでしょうか? 平行四辺形AEGD は、底辺をEGとするとこれはBCと同じ長さで 高さは平行四辺形ABCDの高さの半分になります。 よって 平行四辺形AEGD = 1/2×平行四辺形ABCD また、△AGDは平行四辺形AEGDを対角線AGで2つに分けたものなので △AGD = 1/2 ×平行四辺形AEGD 以上から、 △AGD=1/2 ×(1/2×平行四辺形ABCD) = 1/4×平行四辺形ABCD となります。 これを△AND=4/5×△AGDに代入すると △AND = 4/5×1/4×平行四辺形ABCD となる訳です。 >平方四辺形KLMN=平方四辺形-4×△AND >はわかるのですが、これから >平方四辺形ABCD -4/5×平方四辺形ABCD >になることがわかりません。 △AND = 4/5×1/4×平行四辺形ABCD を 平方四辺形KLMN=平方四辺形ABCD-4×△AND に代入しただけです。 平方四辺形KLMN =平方四辺形ABCD-4×(4/5×1/4×平行四辺形ABCD) =平方四辺形ABCD -4/5×平方四辺形ABCD これでOK?

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  • 回答No.7
  • hinebot
  • ベストアンサー率37% (1123/2963)

>AK=KNについてがよくわかりません。 >中点連結定理を見たのですが、その逆というのがよくわかりません。 ---------------------------------------------------------- 【中点連結定理】 三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で長さはその半分である 具体的にいうと、△ABCの辺AB,AC上の点をそれぞれP,Qとすると AP=PB,AQ=QC ならば PQ//BC , PQ = (1/2)AC ということです。逆も言えます。 教科書に詳しく出ていると思いますので見てくださいね。 ---------------------------------------------------------- でしたね。(#6では PQ//AC となってました。上記の通り訂正します。すみません。) 純粋に「中点連結定理の逆」というのは、[上の記号を使うと] PQ//BC , PQ = (1/2)AC ならば AP=PB,AQ=QC ということです。 実際には、 AP=PB(PがABの中点),AQ=QC(QがACの中点) PQ//BC, PQ = (1/2)AC の4つの条件については、 どれか2つの条件がいえれば残りの2つが成り立ちます。 今回はこのことを使って、[ここからは問題の方の記号です] △ANDにおいて AH=HC、KH//ND より AK=KN (KH =1/2×NDも言えます) とした訳ですが、中点連結定理を使わずに以下のように証明することもできます。 △AKHと△ANDにおいて ∠KAH = ∠NAD (共通) KH//NDより、∠AHK = ∠ADN (同位角) よって、2つの角がそれぞれ等しいから △AKH∽△AND AH=HC すなわち AD = 2AH より △AKHと△ANDの相似比は1:2 である。 従って、AK:AN = 1:2 より、AK=1/2×AN となり AK = KN である。 

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質問者からの補足

ありがとうございます。 丁寧な方法。 また、質問していいですか? 最後だと思うのですが △AND=4/5×△AGDになるのはわかるのですが、 これから、4/5×1/4×平方四角形 ABCD になるのがわかりません。 それから 平方四辺形KLML=平方四辺形-4×△AND はわかるのですが、これから 平方四辺形ABCD -4/5×平方四辺形ABCD になることがわかりません。 たびたびすいません。

  • 回答No.6
  • hinebot
  • ベストアンサー率37% (1123/2963)

#4,#5です。 >△ANDにおいて、 >KH//NDよりAK=KNの意味がわかりません。 KH//ND は#4の回答の頭の方をもう一度見てください。 HはADの中点なので(#5で説明したとおり)AH=HDで △ANDに対して「中点連結定理」(の逆)を適用して、KがANの中点であることが 分かり、AK=KNとなる訳です。 ---------------------------------------------------------- 【中点連結定理】 三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で長さはその半分である 具体的にいうと、△ABCの辺AB,AC上の点をそれぞれP,Qとすると AP=PB,AQ=QC ならば PQ//AC , PQ = (1/2)AC ということです。逆も言えます。 教科書に詳しく出ていると思いますので見てくださいね。 ---------------------------------------------------------- >そして、 >AK:KN:NG=2:2:1にどうしてなるのでしょうか? 先ほど、AK=KN を示しました。 次に、#4の回答で HK:BK = 1:4 ---(a) を示したのと同様に AN:NG = 4:1 であることが言えます。 「ここでAGをG方向に延長したものと、BCをC方向に延長したものの 交点をOとします。」と考えましたが、 この場合は、DFをF方向に延長したものとABをB方向に延長したものの交点を 考えましょう。あとは、ご自分で考えてみてください。 さて、AN:NG = 4:1 より、AN =4NG で AK=KN=(1/2)AN = 2NG となるので、AK:KN:NG = 2:2:1 となります。 別の視点で考えることもできます。 実は△AND≡△CLB となります。(これがなぜかはご自分で考えてみてください。) よって、AN = CL であり、 CM = ML (理由はAK=KN と同様)より、 MC = AK (= KN) が言えます。 △DMCで、中点連結定理より、NG = (1/2)MC = (1/2)AK となり これからAK:KN:NG = 2:2:1 ということもできます。 >以上より、計算をすると >△AND:AGD=AN:AG=4:5 >から >△4/5△AGD >=4/5×1/4×平方四角ABCD >になるのがわかりません。 △AND:△AGD=AN:AG=4:5 はDからAGに垂線を下ろしたものが、△ANDと△AGDで高さとして 共通になるので、面積の比は底辺の比(この場合はAN:NG)に等しくなるからです。 AN:NG = 4:5 は、AK:KN:NG = 2:2:1 から分かります。 △4/5△AGD =4/5×1/4×平方四角ABCD について、△4/5△AGDは△ANDのことですね。 △AGD=1/4×平行四辺形ABCD なのはOKですか? EGを結ぶと平行四辺形AEGD=1/2×平行四辺形ABCDで、△AGDはさらにその1/2 ですね。

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質問者からの補足

何度もごめんなさい。 AK=KNについてがよくわかりません。 中点連結定理を見たのですが、その逆というのがよくわかりません。 ごめんなさい

  • 回答No.5
  • hinebot
  • ベストアンサー率37% (1123/2963)

#4です。 まず訂正。 >線分AGとBHの交点をGとし、以下反時計回りにL,M,Nとして >説明します。違う場合は適宜読み替えて(置き換えて)くださいね。 「線分AGとBHの交点をKとし」でした。済みません。 >AE=BE >AK=2EL >EL=NG >が成り立つことがわかりません K,L,M,Nの定義が合っている前提ですが、ひとつずつ説明します。 ・AE=BE これは、ABの中点をEと定義したからです。 線分の中点というのは、その線分を2等分する点のことです。 つまり、AE=BEとなるようにEを決めたのです。 ・AK=2EL △ABKと△EBLにおいて ∠ABK=∠EBL (共通) ∠BAK=∠BEL(この理由は後ほど) なので、△ABK∽△EBLが言えます。 よって相似比から、AK:EL = AB:EB = 2:1 となるので AK=2EL となります。 ∠BAK=∠BEL となる理由 先の#4の回答の最初の方で書いたとおり、AG//ECなので その∠BAKと∠BELは同位角の関係になります。 ・EL=NG △ABHと△CDFにおいて AH=(1/2)AD (AE=BEと同じ理由) CF=(1/2)BC また、AD=BC(平行四辺形の向かい合う辺)なので AH=CF ---(1) AB=CD (平行四辺形の向かい合う辺)---(2) ∠BAH=∠DCF(平行四辺形の向かい合う角)---(3) (1),(2),(3)より2辺とその間の角がそれぞれ等しいので △ABH≡△CDF となります。 次に、△BEL(EBL)と△DGNにおいて BE=DG (∵どちらも平行四辺形の向かい合う辺の半分)---(a) △ABH≡△CDFより ∠EBL=∠GDN ---(b) ∠DNG=∠KNM(対頂角) ∠KNM=∠MLK(平行四辺形KLMNの向かい合う角) ∠MLK=∠BLE(対頂角) なので、∠BLE=∠DNG ---(c) 三角形の内角の和は常に180度なので(b)と(c)より残りの1つの角も等しくなります。 すなわち、∠BEL=∠DGN ---(d) (a),(b),(d)より、1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので △BEL≡△DGN であることが言えます。 よって、EL=NG(GN) となります。

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質問者からの補足

たびたびすいません。 △ANDにおいて、 KH//NDよりAK=KNの意味がわかりません。 というか、導き方が そして、 AK:KN:NG=2:2:1にどうしてなるのでしょうか? 以上より、計算をすると △AND:AGD=AN:AG=4:5 から △4/5△AGD =4/5×1/4×平方四角ABCD になるのがわかりません。 こまく質問してごめんなさい

  • 回答No.4
  • hinebot
  • ベストアンサー率37% (1123/2963)

K,L,M,Nの位置関係がよく分かりませんので 線分AGとBHの交点をGとし、以下反時計回りにL,M,Nとして 説明します。違う場合は適宜読み替えて(置き換えて)くださいね。 まず、AB//FH//CD となるのはOKですね。 で、△HBFと△DFCを考えると BF=FC(∵FはBCの中点) HF=DC(∵HFCDは平行四辺形) ∠BFH=∠BAH=∠FCD より、2辺と間の角が等しいので△HBF≡△DFC よって、BH=FDなので、四角形BFDHは平行四辺形となり BH//FDであることが分かります。 (平行であるのは、直感的にはすぐにわかると思いますけど 一応、証明しておきました。) 同様にAG//EC も言えます。 さて、平行四辺形ABCDに対角線BDを引きます。 すると△ABD=1/2*平行四辺形ABCD ---(1) はOKですね。 △ABHと△HBDは 底辺がAH=HD、高さは共通となるので △ABH=△HBD ---(2) となります。 ここでAGをG方向に延長したものと、BCをC方向に延長したものの 交点をOとします。 AH//BO(BC)なので、∠HAK=∠BOK 対頂角より ∠AKH=∠OKB から△AKH∽△OKB が言えます。 △GADと△GOCにおいて GD=GC (∵GはCDの中点) ∠AGD=∠OGC (∵対頂角) ∠ADG=∠OCG(∵AD//CO で錯角) より、1辺とその両端の角が等しいので △GAD≡△GOC が言え、 CO = AD = BC であることが分かります。 △AKH ∽ △OKBに戻って考えると AH= 1/2*AD =1/2*BC BO= BC+CO = 2*BC なので、AH:BO = 1:4 となります。 相似比は等しいので、HK:BK = 1:4 ---(a)が言えます。 さあ、もう一息ですよ。 △ABKと△AKHの面積を考えます。 AからBHにおろした垂線を高さと考えると、両方の三角形に共通になります。 よって面積比は底辺の比(a)に等しくなります。すなわち、 △AKH:△ABK = 1:4 ---(3) ここで(1)と(2)に戻ります。 △ABD=1/2*平行四辺形ABCD ---(1) △ABH=△HBD ---(2) でしたね。 これらより、△ABH = 1/4*平行四辺形ABCDですね。 (3)より、△AKH = Sとおくと △ABH = △AKH+△ABK = S+4S = 5S なので、 元の平行四辺形ABCD = 5S*4 = 20S となります。 あと、同様にして △BCL=△CDM=△ADN= △ABK =4S となりますので、 四角形KLMN = 平行四辺形ABCD -(△ABK+△BCL+△CDM+△ADN) =20S -4S*4 = 4S となり、四角形KLMN/平行四辺形ABCD = 4S/20S = 1/5 となります。

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質問者からの補足

ありがとうございます。 AE=BE AK=2EL EL=NG が成り立つことがわかりません お願いします

  • 回答No.3
  • es32
  • ベストアンサー率36% (11/30)

証明は書くのが面倒なのでしませんが、 答だけなら直感で理解しましょう。 まず一辺の長さ=1の正方形にして考える。 左下のBを原点(0,0)とすると、 直線BHは y=2x 直線ECは y=-0.5x+0.5 すると交点Lは(0.2,0,4) □ABCD(以降、□と表す)の面積は 1×1=1 △BCL(以降、△と表す)の面積は 1×0.4/2=0.2 真ん中の四角形の面積は □-△×4 =1-0.2×4 =0.2 よって□の0.2倍

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  • 回答No.2
  • ONEONE
  • ベストアンサー率48% (279/575)

全体の四角形ABCDから少しずつ削っていって四角形KLMNにするという方針で良いと思います。 相似と(高さが同じ三角形の面積比)=(底辺の比)をうまく使うと良いと思います。 >線分AG,CEと線分BH,DFとの交点をK,LM,Nとする ではどの点かちょっとわからないので (AGとHB、ECとBH、ECとFD、FDとGAの交点をK、L、M、N、とします。) 四角形KLMN=全体-(△AKB+△BLC+△CMD+△DNA)です。 (本当は△AKB=△BLC=△CMD=△DNA)△AKB≡△CMD、△BLC≡△DNAも考慮に入れておくと良いかも。 まず△AKBを求めたいと思います AGをGの方向に延長したものとBCをCの方向に延長したものの交点をOとします。 △AKH∽△OKB、AH:OB=1:4=KH:KB 全体をSとすると △AHB=S/4 △AKB:△ABH=BK:BH(同じ高さの三角形の面積比=底辺比) =4:5 △AKB=△ABH×(4/5)=(S/4)×(4/5)=S/5 △BLC、△CMD、△DNAについても同様なので△AKB=△BLC=△CMD=△DNAです。 ためしにやってみてください。

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  • 回答No.1

もしかしたら平行四辺形KLMNの、記号の振り方をまちがっていませんか? AGとBHの交点がKで BHとECの交点がLじゃないですか? >特に、AK=2EL、EL=NG とかどうやってわかるのでしょうか 三角形ABKに注目してください。 AK平行ELですよね? またBE=2BAですよね?(なぜならEは中点だからです) なので、三角形の相似より、(三角形BEL=2三角形BAKになります) 辺の長さが二倍の関係なので、AK=2ELになります。 EL=NGは 三角形BAHと三角形DCFが合同であり、 すなわち三角形BELと三角形DGKが合同であるので、 その一致する辺の長さも等しくなるので、 EL=NGになります。

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質問者からの補足

ありがとうございます。 LはBHとECの交点です。

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