図形

質問

すいません。
以前にも聞いて、わかったとおもったのですが、わからなくなっていまって。

平行四辺形ABCDの各辺の中点を図のようにE,F,G,Hとし、線分AG,CEと線分BH,DFとの交点をK、M,Nとする。このとき、
四角形KLMNの面積は四角形ABCDの面積の何倍か。

面積の図は（頂点は）左上から下、右、に回って
A,E,B,F,C,G,D,H

真中の平行四辺形は右から下と言う順でL,M,N,K

全体的にどのように求めるかわからないのですが、
特に、AK=2EL、EL=NG とかどうやってわかるのでしょうか？
証明は苦手です。
答えは、1/5（平行四辺形）ABCD
だそうですが、答えに程遠いです。
だれか、基礎からおしえてください。
お願いします

回答No.8

hinebot · ベストアンサー

これで最後になればいいですが…。

>△AND=4/5×△AGDになるのはわかるのですが、
>これから、4/5×1/4×平方四角形 ABCD
>になるのがわかりません。

#6の最後の方で
----------------------------------------------
△AGD＝1/4×平行四辺形ABCD　なのはOKですか？
EGを結ぶと平行四辺形AEGD＝1/2×平行四辺形ABCDで、△AGDはさらにその1/2 ですね。
----------------------------------------------
と説明しましたが、これがわからないのでしょうか？
平行四辺形AEGD は、底辺をEGとするとこれはBCと同じ長さで
高さは平行四辺形ABCDの高さの半分になります。
よって
平行四辺形AEGD = 1/2×平行四辺形ABCD
また、△AGDは平行四辺形AEGDを対角線AGで２つに分けたものなので
△AGD = 1/2 ×平行四辺形AEGD
以上から、
△AGD=1/2 ×(1/2×平行四辺形ABCD) = 1/4×平行四辺形ABCD
となります。
これを△AND=4/5×△AGDに代入すると
△AND = 4/5×1/4×平行四辺形ABCD
となる訳です。

>平方四辺形KLMN=平方四辺形-4×△AND
>はわかるのですが、これから
>平方四辺形ABCD -4/5×平方四辺形ABCD
>になることがわかりません。

△AND = 4/5×1/4×平行四辺形ABCD
を
平方四辺形KLMN=平方四辺形ABCD-4×△AND
に代入しただけです。
平方四辺形KLMN
=平方四辺形ABCD-4×(4/5×1/4×平行四辺形ABCD)
=平方四辺形ABCD -4/5×平方四辺形ABCD

これでOK?

回答No.7

hinebot

>AK=KNについてがよくわかりません。
>中点連結定理を見たのですが、その逆というのがよくわかりません。

----------------------------------------------------------
【中点連結定理】
三角形の２辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で長さはその半分である

具体的にいうと、△ABCの辺AB,AC上の点をそれぞれP,Qとすると
AP=PB,AQ=QC ならば PQ//BC , PQ = (1/2)AC
ということです。逆も言えます。
教科書に詳しく出ていると思いますので見てくださいね。
----------------------------------------------------------
でしたね。（#6では PQ//AC となってました。上記の通り訂正します。すみません。）

純粋に「中点連結定理の逆」というのは、［上の記号を使うと］
PQ//BC , PQ = (1/2)AC　ならば　AP=PB,AQ=QC
ということです。

実際には、
AP=PB（PがABの中点），AQ=QC（QがACの中点）
PQ//BC， PQ = (1/2)AC
の４つの条件については、
どれか２つの条件がいえれば残りの２つが成り立ちます。

今回はこのことを使って、［ここからは問題の方の記号です］
△ANDにおいて
AH=HC、KH//ND　より　AK=KN　（KH =1/2×NDも言えます）
とした訳ですが、中点連結定理を使わずに以下のように証明することもできます。

△AKHと△ANDにおいて
∠KAH = ∠NAD　(共通）
KH//NDより、∠AHK = ∠ADN　（同位角）
よって、２つの角がそれぞれ等しいから　△AKH∽△AND
AH=HC すなわち AD = 2AH より
△AKHと△ANDの相似比は1:2 である。
従って、AK:AN = 1:2 より、AK=1/2×AN となり　AK = KN である。

補足

ありがとうございます。
丁寧な方法。
また、質問していいですか？
最後だと思うのですが

△AND=4/5×△AGDになるのはわかるのですが、
これから、4/5×1/4×平方四角形 ABCD
になるのがわかりません。

それから

平方四辺形KLML=平方四辺形-4×△AND
はわかるのですが、これから
平方四辺形ABCD -4/5×平方四辺形ABCD
になることがわかりません。

たびたびすいません。

回答No.6

hinebot

#4,#5です。

>△ANDにおいて、
>KH//NDよりAK=KNの意味がわかりません。

KH//ND は#4の回答の頭の方をもう一度見てください。
HはADの中点なので（#5で説明したとおり）AH=HDで
△ANDに対して「中点連結定理」（の逆）を適用して、KがANの中点であることが
分かり、AK=KNとなる訳です。
----------------------------------------------------------
【中点連結定理】
三角形の２辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で長さはその半分である

具体的にいうと、△ABCの辺AB,AC上の点をそれぞれP,Qとすると
AP=PB,AQ=QC ならば PQ//AC , PQ = (1/2)AC
ということです。逆も言えます。
教科書に詳しく出ていると思いますので見てくださいね。
----------------------------------------------------------

>そして、
>AK:KN:NG=２：２：１にどうしてなるのでしょうか？

先ほど、AK=KN を示しました。
次に、#4の回答で
HK：BK　= 1:4 ---(a)
を示したのと同様に
AN：NG = 4:1 であることが言えます。
「ここでAGをG方向に延長したものと、BCをC方向に延長したものの
交点をOとします。」と考えましたが、
この場合は、DFをF方向に延長したものとABをB方向に延長したものの交点を
考えましょう。あとは、ご自分で考えてみてください。
さて、AN：NG = 4:1 より、AN =4NG で
AK=KN=(1/2)AN = 2NG となるので、AK:KN:NG = 2:2:1 となります。

別の視点で考えることもできます。
実は△AND≡△CLB　となります。（これがなぜかはご自分で考えてみてください。）
よって、AN = CL であり、
CM = ML (理由はAK=KN　と同様）より、
MC = AK (= KN)　が言えます。
△DMCで、中点連結定理より、NG = (1/2)MC = (1/2)AK となり
これからAK:KN:NG = 2:2:1　ということもできます。

>以上より、計算をすると
>△AND:AGD=AN:AG=4:5
>から
>△4/5△AGD
>=4/5×1/4×平方四角ABCD
>になるのがわかりません。

△AND:△AGD=AN:AG=4:5　はDからAGに垂線を下ろしたものが、△ANDと△AGDで高さとして
共通になるので、面積の比は底辺の比(この場合はAN:NG)に等しくなるからです。
AN:NG = 4:5 は、AK:KN:NG = 2:2:1　から分かります。

△4/5△AGD
=4/5×1/4×平方四角ABCD
について、△4/5△AGDは△ANDのことですね。
△AGD＝1/4×平行四辺形ABCD　なのはOKですか？
EGを結ぶと平行四辺形AEGD＝1/2×平行四辺形ABCDで、△AGDはさらにその1/2 ですね。

補足

何度もごめんなさい。
AK=KNについてがよくわかりません。
中点連結定理を見たのですが、その逆というのがよくわかりません。
ごめんなさい

回答No.5

hinebot

#4です。

まず訂正。
>線分AGとBHの交点をGとし、以下反時計回りにL,M,Nとして
>説明します。違う場合は適宜読み替えて（置き換えて）くださいね。

「線分AGとBHの交点をKとし」でした。済みません。

>AE=BE
>AK=2EL
>EL=NG
>が成り立つことがわかりません

K,L,M,Nの定義が合っている前提ですが、ひとつずつ説明します。

・AE=BE
これは、ABの中点をEと定義したからです。
線分の中点というのは、その線分を2等分する点のことです。
つまり、AE=BEとなるようにEを決めたのです。

・AK=2EL
△ABKと△EBLにおいて
∠ABK＝∠EBL　（共通）
∠BAK＝∠BEL（この理由は後ほど）
なので、△ABK∽△EBLが言えます。
よって相似比から、AK:EL = AB:EB = 2:1　となるので
AK=2EL　となります。

∠BAK＝∠BEL　となる理由
先の#4の回答の最初の方で書いたとおり、AG//ECなので
その∠BAKと∠BELは同位角の関係になります。

・EL=NG
△ABHと△CDFにおいて
AH=(1/2)AD　（AE=BEと同じ理由）
CF=(1/2)BC
また、AD=BC（平行四辺形の向かい合う辺）なので
AH=CF ---(1)
AB=CD （平行四辺形の向かい合う辺）---(2)
∠BAH=∠DCF（平行四辺形の向かい合う角）---(3)
(1),(2),(3)より２辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABH≡△CDF　となります。

次に、△BEL（EBL)と△DGNにおいて
BE＝DG　（∵どちらも平行四辺形の向かい合う辺の半分）---(a)
△ABH≡△CDFより
∠EBL＝∠GDN　---(b)
∠DNG＝∠KNM（対頂角）
∠KNM＝∠MLK（平行四辺形KLMNの向かい合う角）
∠MLK＝∠BLE（対頂角）
なので、∠BLE＝∠DNG　---(c)
三角形の内角の和は常に１８０度なので(b)と(c)より残りの１つの角も等しくなります。
すなわち、∠BEL＝∠DGN　---(d)
(a),(b),(d)より、１辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△BEL≡△DGN　であることが言えます。
よって、EL=NG（GN) となります。

補足

たびたびすいません。
△ANDにおいて、
KH//NDよりAK=KNの意味がわかりません。
というか、導き方が
そして、
AK:KN:NG=２：２：１にどうしてなるのでしょうか？
以上より、計算をすると
△AND:AGD=AN:AG=4:5
から
△4/5△AGD
=4/5×1/4×平方四角ABCD
になるのがわかりません。
こまく質問してごめんなさい

回答No.4

hinebot

K,L,M,Nの位置関係がよく分かりませんので
線分AGとBHの交点をGとし、以下反時計回りにL,M,Nとして
説明します。違う場合は適宜読み替えて（置き換えて）くださいね。

まず、AB//FH//CD となるのはOKですね。
で、△HBFと△DFCを考えると
BF＝FC（∵FはBCの中点）
HF＝DC（∵HFCDは平行四辺形）
∠BFH＝∠BAH＝∠FCD
より、２辺と間の角が等しいので△HBF≡△DFC
よって、BH＝FDなので、四角形BFDHは平行四辺形となり
BH//FDであることが分かります。
（平行であるのは、直感的にはすぐにわかると思いますけど
一応、証明しておきました。）
同様にAG//EC も言えます。

さて、平行四辺形ABCDに対角線BDを引きます。
すると△ABD＝1/2*平行四辺形ABCD　---(1)　はOKですね。
△ABHと△HBDは　底辺がAH＝HD、高さは共通となるので
△ABH＝△HBD　---(2)
となります。

ここでAGをG方向に延長したものと、BCをC方向に延長したものの
交点をOとします。
AH//BO(BC)なので、∠HAK＝∠BOK
対頂角より　∠AKH＝∠OKB
から△AKH∽△OKB　が言えます。

△GADと△GOCにおいて
GD＝GC （∵GはCDの中点）
∠AGD＝∠OGC　（∵対頂角）
∠ADG＝∠OCG（∵AD//CO で錯角）
より、１辺とその両端の角が等しいので　△GAD≡△GOC　が言え、
CO = AD = BC であることが分かります。

△AKH ∽ △OKBに戻って考えると
AH= 1/2*AD =1/2*BC
BO= BC+CO = 2*BC
なので、AH:BO = 1:4 となります。
相似比は等しいので、HK：BK　= 1:4 ---(a)が言えます。

さあ、もう一息ですよ。
△ABKと△AKHの面積を考えます。
AからBHにおろした垂線を高さと考えると、両方の三角形に共通になります。
よって面積比は底辺の比(a)に等しくなります。すなわち、
△AKH：△ABK = 1:4　---(3)

ここで(1)と(2)に戻ります。
△ABD＝1/2*平行四辺形ABCD　---(1)
△ABH＝△HBD　---(2)
でしたね。
これらより、△ABH = 1/4*平行四辺形ABCDですね。

(3)より、△AKH = Sとおくと
△ABH = △AKH＋△ABK　= S+4S = 5S
なので、
元の平行四辺形ABCD = 5S*4 = 20S となります。

あと、同様にして
△BCL＝△CDM＝△ADN＝ △ABK　＝4S
となりますので、
四角形KLMN　= 平行四辺形ABCD　－(△ABK＋△BCL＋△CDM＋△ADN）
=20S -4S*4 = 4S
となり、四角形KLMN/平行四辺形ABCD　= 4S/20S = 1/5
となります。

補足

ありがとうございます。
AE=BE
AK=2EL
EL=NG
が成り立つことがわかりません
お願いします

回答No.3

es32

証明は書くのが面倒なのでしませんが、
答だけなら直感で理解しましょう。

まず一辺の長さ＝1の正方形にして考える。
左下のＢを原点（0,0）とすると、
直線BHは　y＝2x
直線ECは　y＝-0.5x+0.5
すると交点Ｌは（0.2,0,4）

□ＡＢＣＤ（以降、□と表す）の面積は
1×1＝1

△ＢＣＬ（以降、△と表す）の面積は
1×0.4／2＝0.2

真ん中の四角形の面積は
□－△×4
＝1-0.2×4
＝0.2

よって□の0.2倍

回答No.2

ONEONE

全体の四角形ABCDから少しずつ削っていって四角形KLMNにするという方針で良いと思います。
相似と（高さが同じ三角形の面積比）＝（底辺の比）をうまく使うと良いと思います。

＞線分AG,CEと線分BH,DFとの交点をK,LM,Nとする
ではどの点かちょっとわからないので
（AGとHB、ECとBH、ECとFD、FDとGAの交点をK、L、M、N、とします。）
四角形KLMN＝全体－(△AKB+△BLC+△CMD+△DNA)です。
（本当は△AKB=△BLC=△CMD=△DNA）△AKB≡△CMD、△BLC≡△DNAも考慮に入れておくと良いかも。
まず△AKBを求めたいと思います
ＡＧをＧの方向に延長したものとＢＣをＣの方向に延長したものの交点をＯとします。
△AKH∽△OKB、AH：OB=1：4=KH：KB
全体をＳとすると
△AHB＝S/4
△AKB：△ABH＝BK：BH（同じ高さの三角形の面積比＝底辺比）
＝4：5
△AKB=△ABH×(4/5)＝(S/4)×(4/5)=Ｓ/5

△BLC、△CMD、△DNAについても同様なので△AKB=△BLC=△CMD=△DNAです。
ためしにやってみてください。

回答No.1

majoruma

もしかしたら平行四辺形KLMNの、記号の振り方をまちがっていませんか？
AGとBHの交点がKで
BHとECの交点がLじゃないですか？

＞特に、AK=2EL、EL=NG とかどうやってわかるのでしょうか

三角形ABKに注目してください。
AK平行ELですよね？
またBE＝2BAですよね？（なぜならEは中点だからです）
なので、三角形の相似より、（三角形BEL＝２三角形BAKになります）
辺の長さが二倍の関係なので、AK＝２ELになります。

EL＝NGは
三角形BAHと三角形DCFが合同であり、
すなわち三角形BELと三角形DGKが合同であるので、
その一致する辺の長さも等しくなるので、
EL=NGになります。

補足

ありがとうございます。
LはBHとECの交点です。