4点を通る球の式を求めたい。

質問

4点を通る球の式を求めたいのですが、
ネットなどを調べてもやり方が分からず、悩んでおります。
与えられた4点a,b,c,dから円の中心の座標(A,B,C)が求まれば、そこから半径rも求まり、
(x-A)^2+(y-B)^2+(z-C)^2=r^2
という式が導けると思うのですが。
考えた方法としては、
3点を通る平面の式
３点A:(x1,y1,z1)、B:(x2,y2,z2)、C:(x3,y3,z3)
{(y2-y1)(z3-z1)-(y3-y1)(z2-z1)}(x-x1)+{(z2-z1)(x3-x1)-(z3-z1)(x2-x1)}(y-y1)+{(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)}(z-z1)＝0
を利用して、
点(a,b,c),(b,c,d),(c,d,a)を通る平面の式を求めて、その3平面が交わる点が球の中心座標。
または、球は中心座標から、与えられた4点までの距離がすべて同じなので、2点間の距離の公式を用いて、
与えられた4点への距離がすべて等しい点を求めることが出来るのではないか。
というのが思いついたのですが、実際にそれを解こうとすると出来ません。
どなたか、方法をご存じの方いらっしゃらないでしょうか?

回答No.1

kony0 · ベストアンサー

線分AB, BC, CDのぞれぞれに対して、
「線分の中点を通り、線分に垂直な平面」
を考えて、その３平面の交点が中心
という考え方で求められると思います。

これは、
(x-A)^2+(y-B)^2+(z-C)^2=r^2
に４点の座標を入れた４つの式を作り
　　（文字４つ、式４つの連立方程式）
　　＜それを(1)～(4)式とします＞
(1)-(2)式、(2)-(3)式、(3)-(4)式を考えたもの
　　＜A^2, B^2, C^2の項および文字rは消えるので、
　　　もはや単なる３元１次方程式です＞
と同義です。

もちろんそれは、「2点間の距離の公式を用いて、与えられた4点への距離がすべて等しい点を求める」というのとも同義です。

お礼

お返事ありがとうございます！
どうやら、後者の方で解けば良いようですね。
やり方も教えていただきありがとうございました。
早速やってみようと思います。

回答No.2

ojisan7

＞点(a,b,c),(b,c,d),(c,d,a)を通る平面の式を求めて、その3平面が交わる点が球の中心座標。

ということですが、これは成り立つでしょうか？一般的に球面上の３点を通る平面は、球の中心を通りません。

＞または、球は中心座標から、与えられた４点・・・

の部分は良さそうです。

球の方程式を(x-A)^2+(y-B)^2+(z-C)^2=r^2とおくとき、４点a,b,cはその球面上にあるのですから、この４点の座標を方程式に代入すると、４つの等式が導かれます。この４つの等式を連立させて解けばよいわけです。これは、連立４元２次方程式ですね。解くのもイヤになるような問題のような気がしますがどうでしょうか。根気があればやってみて下さい。

お礼

お返事ありがとうございます！
前者は間違いだったようですね。
解き方も教えていただき、ありがとうございました。
複雑そうですが、がんばって解いてみます。