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ディオファントス不定方程式と格子点
「x,y平面上で、x座標とy座標がともに整数であるような点(m,n)を格子点とよぶ。 各格子点を中心として半径rの円が描かれており、傾き2/5の任意の直線は、これらの円のどれかと共有点をもつとする。 このような性質を持つ半径rの最小値を求めよ」 これの解答が、 傾き2/5の任意の直線は2x-5y-k=0(k:任意の定数)•••(1)と表される。 点(m,n)を持つための条件は |2m-5n-k|/√2²+(-5)²≦r |2m-5n-k|≦√29r•••(2) 任意のkに対して、適当なm,nをとれば(2)が成り立つようなrの最小値を求めればよい。 ここで、(2)|2m-5n-k|≦√29rにおいて、2m-5nはすべて整数値をとるから N=2m-5n•••※とおける。 すると、(2)は |N-k|≦√29r•••(3)となる。 したがって、問題の条件は次のように言い換えられる。 任意の実数kに対して、適当な整数Nをとれば |N-k|≦√29r となるような最小値を求めればよい。 ...(以下画像参照) 解説を読んでも何故1/2が出てきたのかイマイチぱっとひらめきません。 数直線上で任意の実数kに対して、点kとの距離が√29r以下であるような整数の点Nがとれるようなrの最小値を求めればよい。それ以降の過程が分かりません。
- marijuana_weed
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- 上野 尚人（@uenotakato）
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1991年の東大ですね。 kを固定したとき、|N-k| は数直線上で「k , k±1, k±2, ...」という「間隔1の数字群」を表す。 これらの数字を中心とした半径√29rの円を数直線上にえがいたとき、これらの円で数直線を埋め尽くすには？ と考えると、円の半径が「1/2以上」となるかと思います。
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「x,y平面上で、ｘ座標とｙ座標がともに整数であるような点（ｍ、ｎ）を格子点とよぶ。 各格子点を中心として半径ｒの円が描かれており、傾き２/５の任意の直線は、これらの円のどれかと共有点をもつとする。このような性質をもつ半径ｒの最小値を求めよ。」 東大の過去問です。馬鹿な私にもわかるように詳しくご教授ください。
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（１） 2x+3y≦6n, x≧0, y≧0 （aは正の整数） を満たす点P（x,y）で、x,yがどちらも整数であるもの（格子点）の個数を求めよ。 （２） 2x+3y+6z≦6n, x≧0, y≧0 z≧0 （aは正の整数） を満たす点P（x,y,z）で、x,y,zがすべて整数であるもの（格子点）の個数を求めよ。 という問題で、 (1)は不等式を図示して y=k（k=1,2・・・）とy=-(2/3)x+2n の交点は（ 3n-(3/2)k , k ） 交点が整数であるために2k=mとおくと、 y=m上の格子点の数は 3n-3m+1 よって、1≦y≦2nにおいて、y=（偶数）上の格子点の数は Σ[m=1,n]（3n-3m+1） ＝（3/2）n^2-（1/2）n また図から、y=2k-1上の格子点の数は y=2k=m上の格子点の数より1多いので、 1≦y≦2nにおいて、y=（奇数）上の格子点の数は Σ[m=1,n]｛3n-3m+2｝ ＝（3/2）n^2+（1/2）n y=0上の格子点の数は3n+1より、 求める値は （3/2）n^2-（1/2）n＋（3/2）n^2+（1/2）n+3n+1 ＝3n^2+3n+1 ここまでは分かりました。 （２）はどうやっていいか手の付け方も分かりません。 (1)を使って簡単にして解くような気はします（分かりませんが）。 分かる方お願いします。
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