格子点の問題なんですが分かりません

質問

お願いします
nを自然数として、連立不等式2y≦x, y≧0, x≦2n+1 の表す領域をＤとする。

（１）Ｄに含まれる格子点の個数をnを用いて表せ。
（２）各格子点(x ,y)にz=y/2^xという値を対応させる。Ｄに含まれるすべての格子点について、zを足し合わせたものをＳとする。Ｓをnを用いて表せ。

回答No.4

muturajcp

nは自然数
D={(x,y)|0≦2y≦x≦2n+1}
とする
(1)
Dに含まれる格子点のyは
0≦2y≦2n+1
0≦y≦n+1/2
0≦y≦nの整数だから
y=0,1,…,n
でそれぞれの格子点のxは
2y≦x≦2n+1の整数だから
x=2y,2y+1,…,2n,2n+1
の2(n+1-y)個の整数で
Dに含まれる格子点の集合をAとすると
A=∪_{y=0,…,n}[∪_{x=2y,…,2n+1}{(x,y)}]
だから|A|=mとすると
m=Σ_{y=0～n}2(n+1-y)
m=2(n+1)Σ_{y=0～n}-2Σ_{y=0～n}y
m=2(n+1)^2-n(n+1)
m=(n+1)(n+2)
m=n^2+3n+2

(2)
各格子点(x,y)に
z=y/2^x
という値を対応させる
Dに含まれる全ての格子点について、
zを足し合わせたものをSとすると
S=Σ_{y=0～n}Σ_{x=2y～2n+1}z
S=Σ_{y=0～n}Σ_{x=2y～2n+1}y/2^x
S=Σ_{y=1～n}y*2^{-2y}Σ_{k=0～2n+1-2y}(1/2)^k
S=Σ_{y=1～n}y*2^{-2y}[1-(1/2)^{2n+2-2y}]/[1-(1/2)]
S=Σ_{y=1～n}y*2*2^{-2y}[1-2^{-2n-2+2y}]
S=Σ_{y=1～n}y[2^{1-2y}-2^{1-2n-2}]
S=Σ_{y=1～n}y*2^{1-2y}-2^{1-2n-2}Σ_{y=1～n}y
S=Σ_{y=1～n}y*2^{1-2y}-n(n+1)2^{-2n-2}
S=2Σ_{y=1～n}y(1/4)^y-n(n+1)/4^{n+1}
S=2Σ_{k=1～n}Σ_{y=k～n}(1/4)^y-n(n+1)/4^n/4
S=2Σ_{k=1～n}(1/4)^kΣ_{y=0～n-k}(1/4)^y-n(n+1)/4^n/4
S=8Σ_{k=1～n}(1/4)^k[1-(1/4)^{n-k+1}]/3-n(n+1)/4^n/4
S=Σ_{k=1～n}[8(1/4)^k-2(1/4)^n]/3-n(n+1)/4^n/4
S=Σ_{k=1～n}8(1/4)^k/3-2n/4^n/3-n(n+1)/4^n/4
S=Σ_{k=1～n}8(1/4)^k/3-11n/4^n/12-nn/4^n/4
S=(2/3)Σ_{k=0～n-1}(1/4)^k-n(3n+11)/4^n/12
S=8{1-(1/4)^n}/9-n(3n+11)/4^n/12
S=8/9-8/4^n/9-n(3n+11)/4^n/12
S=8/9-(32+9n^2+33n)/4^n/36
S=8/9-(9n^2+33n+32)/4^n/36

n=1のとき検算してみると
Dに含まれる全ての格子点は
(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(2,1),(3,1)
の6点だけで、
z=0,0,0,0,1/2^2,1/2^3
だから
S=1/2^2+1/2^3=1/4+1/8=3/8
一方
S=8/9-(9n^2+33n+32)/4^n/36
にn=1を代入すると
S=8/9-(9+33+32)/4^1/36=8/9-37/72=(64-37)/72=27/72=3/8
となって
S=3/8
と一致する
一方
S'=32/9-(n^2/4+17n/12+37/18)*(1/4)^n
にn=1を代入すると
S'=32/9-(1/4+17/12+37/18)*(1/4)^1=21/8≠3/8=S
だからS≠32/9-(n^2/4+17n/12+37/18)*(1/4)^n

∴
S=8/9-(9n^2+33n+32)/4^n/36

回答No.3

yyssaa

（１）Ｄに含まれる格子点の個数をnを用いて表せ。
＞x-y座標面に直線y=x/2と直線x=2n+1(y軸に平行な直線)を描くと、
これらの2直線とx軸とで囲まれた領域(各直線上を含む)がＤ。
Ｄに含まれるxは0≦x≦2n+1の整数だから0,1,2,・・・・2n,2n+1。
x=2nの格子点(直線x=2n上でＤに含まれる格子点)は、直線x=2nと
直線y=x/2の交点のy座標がy=2n/2=nだから、
(2n,0)(2n,1)(2n,2)・・・・・(2n,n)の(n+1)個。
x=2n+1の格子点は、直線x=2n+1と直線y=x/2の交点のy座標が
y=(2n+1)/2=n+1/2だから(2n+1,0)(2n+1,1)(2n+1,2)・・・・・(2n+1,n)
の同じく(n+1)個。
Ｄに含まれるxは0≦x≦2n+1の整数すなわち0,1,2,・・・・2n,2n+1。
これらの整数はi=0～nを整数として2i又は2i+1で表されるので、
Ｄに含まれる格子点の数はx=2iの格子点の数(i+1)個とx=2i+1の
格子点の数(i+1)個をi=0～nで加えれば得られる。
よってＤに含まれる格子点の数は1+1+2+2+3+3+・・・・・(n+1)+(n+1)
=2*Σ(i=1→n+1)i=2*(n+1)(n+2)/2=(n+1)(n+2)=n^2+3n+2・・・答
（２）各格子点(x ,y)にz=y/2^xという値を対応させる。Ｄに含まれるすべての格子点について、
zを足し合わせたものをＳとする。Ｓをnを用いて表せ。
＞直線x=2i上の格子点は(2i,0)(2i,1)(2i,2)・・・・・(2i,i+1)
これらの格子点に対応するzをz(2i)とすると
z(2i)=0+1/2^(2i)+2/2^(2i)+・・・・・+(i+1)/2^(2i)
={1+2+・・・・・+(i+1)}/2^(2i)=(i+1)(i+2)/2^(2i+1)
直線x=2i+1上の格子点は(2i+1,0)(2i+1,1)(2i+1,2)・・・・・(2i+1,i+1)
これらの格子点に対応するzをz(2i+1)とすると
z(2i+1)=0+1/2^(2i+1)+2/2^(2i+1)+・・・・・+(i+1)/2^(2i+1)
={1+2+・・・・・+(i+1)}/2^(2i+1)=(i+1)(i+2)/2^(2i+2)=(1/2)z(2i)
よってＳ=Σ(i=0→n){z(2i)+z(2i+1)}=(3/2)*Σ(i=0→n)z(2i)
=(3/4)*Σ(i=0→n){(i+1)(i+2)/4^i}
=(3/4)*Σ(i=0→n)i^2/4^i+(9/4)*Σ(i=0→n)i/4^i+(3/2)*Σ(i=0→n)1/4^i
ここで
Σ(i=0→n)i^2/4^i=1/4+4/4^2+9/4^3+16/4^4+・・・・・+n^2/4^n
=20/27-(n^2/3+8n/9+20/27)*(1/4)^n
Σ(i=0→n)i/4^i=1/4+2/4^2+3/4^3+4/4^4+・・・・・+n/4^n=4/9-(4/9+n/3)*(1/4)^n
Σ(i=0→n)1/4^i=1+1/4+1/4^2+1/4^3+・・・・・+1/4^n=4/3-(1/3)*(1/4)^n
よって
Ｓ=(3/4)*{20/27-(n^2/3+8n/9+20/27)*(1/4)^n}+(9/4)*{4/9-(4/9+n/3)*(1/4)^n}
+(3/2)*{4/3-(1/3)*(1/4)^n}
=32/9-(n^2/4+17n/12+37/18)*(1/4)^n・・・答

回答No.2

178-tall

< No.1
　　↑
>3 頂点のうち「格子点」じゃないのは、Y = [2n+1, n+(1/2)] だけかナ？

… ならば、

　O = [0, 0], X = [2n+1, 0], Z = [2n, n]　として、直角三角形 OXZ に属する「格子点」をカウント
　直角三角形 OXY の斜辺上の「格子点」をカウント。

… と手分けし、ダブルブッキングをチェックすれば、わかりやすそうです。

回答No.1

178-tall

何を「お願い」されてるのか定かじゃない…ので、「領域Ｄ」の範囲から。

　O = [0, 0], X = [2n+1, 0], Y = [2n+1, n+(1/2)]　として、直角三角形 OXY

…らしい。
3 頂点のうち「格子点」じゃないのは、Y = [2n+1, n+(1/2)] だけかナ？