Σ計算と数列の和

質問

n
Σk(k+1)(k+2)の和は(1/4)n^2(n+1)^2+3×(1/6)n(n+1)(2n+1)+2×(1/2)n(n+1)から1/4n(n+1)(n+2)(n+3)と
という答えになるようですが、どうしたらこうやってくくることができるのでしょうか？？その計算過程を教えてください

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

Σ[k=1,n] k(k+1)(k+2)=(1/4)n^2(n+1)^2+3×(1/6)n(n+1)(2n+1)+2×(1/2)n(n+1)
共通因数(1/4)n(n+1)を｛ ｝の外に括りだせば
=(1/4)n(n+1){n(n+1)+2(2n+1)+4}
{ }内の括弧を外すと
=(1/4)n(n+1)(n^2+n+4n+2+4)
=(1/4)n(n+1)(n^2+5n+6)
最後の項(n^2+5n+6)を因数分解すると(n+2)(n+3)となるから
=(1/4)n(n+1)(n+2)(n+3)

これで導出出来たね！

回答No.3

alice_44

中間の式から見て、
Σk(k+1)(k+2) = Σ(k^3+3k^2+2k) = Σk^3+3Σk^2+2Σk
と変形して Σk^3, Σk^2, Σk の公式を使ったんだろうが、
その方法は、Σ する多項式の次数が高くなると、Σk^m の公式を
最初に作るのも、覚えておくのも、大変になってしまうため、
現実的な解法ではなくなる。(私なんか Σk^3 さえ覚えられない)

k(k+1)(k+2)(k+3) - (k-1)k(k+1)(k+2) ←[＊]
= k(k+1)(k+2){(k+3)-(k-1)}
= 4k(k+1)(k+2)
の両辺を k=1～n で Σ すると
n(n+1)(n+2)(n+3) = 4 Σ[k=1～n]k(k+1)](k+2)
となって、両辺を 4 で割れば目的の式になる。

むしろ、
こっちを基本公式として、[＊]の式の作りかたを覚えておけば、
任意の m に対して Σk^m の公式がすぐに作れるようになる。

回答No.1

Tacosan

こんな遠回りなことはしなくてもいいんだが, いずれにしても n(n+1) は見えるっしょ?