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数列の公式について

今まで数列のΣの公式を暗記していました。 ところが先生に公式のΣk=1/2n(n+1)はnは項数で(n+1)は(初項の和+末項の和)という意味とおしえてもらいました。 そこでふと疑問に思ったのが、公式のΣk^2=1/6n(n+1)(2n+1)の場合はどういう意味が込められているのか。です。 回答していただけたら助かります。

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.5
  • htms42
  • ベストアンサー率47% (1120/2361)

#4です。 #4に「#2です」と書いたのは「#3です」の誤りです。 #2様、申し訳ありません。 #4に追加です。 模型でやったのはn=3でしたがやってみるとn=4でもn=5でも同じ規則で組み合わせていけばいいというのがすぐにわかります。 組み合わせ方を書いておきます。 まず2つを組み合わせます。 正面から見る  もう1つ  A            A' B B         B'B' C C C      C'C'C' D D D D   D'D'D'D' 上から見る A B C D   D'C'B'A' B B C D   D'C'B'B' C C C D   D'C'C'C' D D D D   D'D'D'D' 右側の四角錐を反時計回りに90°回転させて左側の四角錐に組み合わせます。 正面から見ると A A'B'C'D' B B B'C'D' C C C C'D' D D D D D' 上から見ると A A'B'C'D' B B B'C'D' C C C C'D' D D D D D' で正面から見たものと同じものが見えます。 これはちょうど四角錐と同じ形のスペースが空いている事になります。

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質問者からのお礼

とても詳しい解説をありがとうございます。 すごく工夫されてて驚きました。 さっそくチャレンジしてみますね。

その他の回答 (4)

  • 回答No.4
  • htms42
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#2です。 3次元は考えにくいので模型を作りました。 n=3の場合についてです。 横から見ると A BB CCC 上から見ると ABC BBC CCC になっています。 3×3×4の直方体にぴたっとはまります。 3×4の面の方向に6つ階段上にはみ出しています。3×4=12ですからちょうど半分はみ出しているのです。 個数は3×4×3.5=42です。 これと同じものをもう1セット用意すると ADDD BBEE CCCG の形になってぴったり合います。 3×4×7=84の直方体が出来ます。 6で割ると1つあたり14個です。 (発泡スチロール板を切り抜いて  1×1×1・・・3個  1×2×2・・・3個  1×3×3・・・3個  作りました。  爪楊枝で留めて四角錐が3つ出来ました。  隙間なくぴたっと組み合わせることが出来ますのでやってみてください。6つ作って組み合わせた方が感激が大きいかもしれません。 ヒントになったのは立方体を立方体の中心を頂点とする、体積の等しい6つの四角錐に分けることができるということです。)

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  • 回答No.3
  • htms42
  • ベストアンサー率47% (1120/2361)

Σ(1→n)k=(1/2)n(n+1) は幾何的には台形の面積を求めるのと同じ考え方です。 台形をサカサマにして2つくっつけると平行四辺形になります。 ○×××× ○○××× ○○○×× ○○○○× 初めが1でなくてもすぐに出てきます。 #1に書かれている方法はすばらしいですね。 幾何的な類推で考えると 四角錐の体積が四角柱の体積の1/3になっているということに対応するものではないだろうかと考えました。 台形のときと同じように考えて○、×、△で四角錐を作ってやり始めたのですがまだできていません。図形が6つ必要になるのかもしれません。 一般性のあるのは#2の解答でしょう。 #2には「意味を考えることの意味はない」と書かれています。でも個人的には幾何的なイメージで説明できるといいなあと思っています。 でもどうせその先のΣk^3で行き詰る事は分かっているのですが。

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質問者からのお礼

ごかいとうありがとうございます。 わかりやすかったです。 「四角錐の体積が四角柱の体積の1/3になっているということに対応するものではないだろうかと考えました」 →いろいろと試行錯誤してくださってありがとうございます。 とても助かりました。

  • 回答No.2

Σの公式は公式として覚えておられるかと思いますが、それがどうやって導出されたかはご存知でしょうか。 Σk(k+1)=Σ{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)}/3=(途中でバシバシ消えて)=n(n+1)(n+2)/3 ところでこれはΣk+Σk^2ですから、 Σk^2 =n(n+1)(n+2)/3-Σk =n(n+1)(n+2)/3-n(n+1)/2 として計算できます。(それ以上の次数も同様。やってみてください) ということで個人的にはこの公式に意味を与えることにはあまり意味がないような気がします。どちらかというとk(k+1)のような階段状の積を考えるのが本質的ではないでしょうか。(逆にこのΣを計算する問題でわざわざ展開して公式を使う人がいますが、本末転倒ですね)

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質問者からの補足

ご回答ありがとうございます。 導出のされかたをすっかりわすれてました。 わかりやすく解説していただきありがとうございました。 すみませんが、またまた質問してもよろしいでしょうか。Σの下にかくk(はじめの項)の値が1ではない場合、Σk^2 はどのように計算するのでしょうか。もしよろしかったら、解説をお願いします。

  • 回答No.1

「意味」といえるかどうかわかりませんが・・・ 簡単のためにn=3で考えると・・・   1^2+2^2+3^2=1+(2+2)+(3+3+3) なので、   1  2 2 3 3 3 と表せます。これを120度、240度回転させると   3     3  3 2   2 3 3 2 1 1 2 3 これら3つの三角形を足すと   7  7 7 7 7 7 この7が2n+1に対応。7の個数が(1/2)n(n+1) 同じものを3つ加えたので3で割る必要があって、   (1/2)n(n+1)×(2n+1)÷3     =1/6n(n+1)(2n+1)

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 そのようなやりかたがあったのですね。 びっくりしました。 とてもわかりやすかったです。 ありがとうございました。

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